84 GÉOMÉTRIE,

ces deux triangles sont éqniangles et semblables. Ondémontrera de même que le triangle DÂC est sem-blable au triangle BAC; donc les trois triangles sontéquiangles et semblables entre eux.

2 °. Puisque le triangle BAD est semblable autriangle BAC, leurs côtés homologues sont propor-tionnels. Or le côté BD dans le petit triangle est ho-mologue à BA dans le grand, parcequ’ils sont op-posés à des angles égaux , BAD , BCA ; l’hypoténuseBA du. petit est .homologue à l’hypoténuse BC dugrand ; donc on peut former la proportion BD :BA : :BA:BC. On auroit de la même maniéré DC:AC : : AC :BC ; donc , 2 0 . chacun des côtés AB , AC ,’est moyen proportionnel entre l’hypoténuse et lesegment adjacent à ce côté.

3°. Enfin la similitude des triangles ABD, ADC,donne, en comparant les côtés homologues, BD:AD : : AD :DC ; donc, 3°. la perpendiculaire AD estmoyenne proportionnelle entre les segments BD, DCde l’hypoténuse.

Scholie . La proportion BD:AB: :AB:BC donne ,en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,ÀB = BDxBC. On a de même AC=DCxBC;

donc AB H- AC = BD x BC+-DC X BC ; le second,membre est la même chose que (BD-j-DC) X BC,

et il se réduit à BC x BC ou BC ; donc on a AB+ÏC= BC ; donc le quarré fait sur l’hypoténuseBC est égal à la somme des quarrés faits sur les deuxautres côtés AB, AC. Nous retombons ainsi sur laproposition du quarré de l’hypoténuse par une voietrès différente de celle que nous avions suivie ; d’ofil’on voit qu’à proprement parler, la proposition duquarré de l’hypoténuse est une suite de la propor-tionnalité des côtés dans les triangles équiangles.