136 GÉOMÉTRIE.

De l’autre côté de CF soit faite la ligure CKx entièrementégale à la ligure CGx, de sorte qu’on ait CK. = CG, l’angleHCK = HCG, et l’arc Kr = xG ; la couxbe KxG envelop-

* g. pera l’arc RII G, et sera plus grande que cet arc*. Donc Gx ,

moitié de la courbe, est plus grand que GH moitié de l’arc;donc, à plus forte raison, GI est plus grand que GH.

Il résulte de là que l’apotlmme OE est plus grand que CB :mais les deux polygones ayant 'même périmètre, sont entre

* 7. eux comme leurs apothèmes*; donc le polygone qui a pour

demi-côté DE est plus grand que celui qui a pour demi-côtéAB : le premier a le plus de côtés, puisque son angle aucentre est le plus petit, donc de deux polygones réguliersisopérimetres, celui qui a le plus de côtés est le plus grand.

PROPOSITION X.

THEOREME.

Le cercle est plus grand que tout polygone isopéri-mctre.

180. H est déjà prouvé que de tous les polygones isopérimetreset d’un même nombre de côtés le polygone régulier est leplus grand; ainsi il ne s’agit plus que de comparer le cercleà un poly gone régulier quelconque isopérimetre. Soit AI ledemi-côté de ce polygone, C son centre. Soit dans le cercleisopérimetre l’angle DOE = ACI, et conséquemment l'arcDE égal au demi-côté AI. Le polygone P est au cercle Ccomme le triangle ACI est au secteur ODE ; ainsi on auraP : C ; : -TI X CI : -DE x OE ; : CI : OE. Soit menée au pointE la tangente EG qui rencontre OD prolongé en G; les trian-gles semblables ACI , GOE, donneront la proportion CI : OE: : AI ou DE : GE ; donc P : C : : DE : GE, ou comme DE X;OE qui est la mesure du secteur DOE est à GE x jOE quiest la mesure du triangle GOE : or le secteur est plus petitque le triangle ; donc P est plus petit que C; donc le cerclé estplus grand que tout polygone isopérimetre.