148 géométrie.

sont semblables. On aura ensuite Ae : eb :: AE : EB, et Vfifc ::DF : FC; donc Ae : eb ::Df: fc, ou, componendo , AeVf: ; Ab : De ; mais, à cause des triangles semblables AH b,cRD, on a Ab : De ; ; AH : HD ; donc Ae : Vf: : AH : HD : d’ail-leurs les triangles AHù, cHD, étant semblables, l’angle HAe* 20 3 = HD/'; donc les triangles AHe, DH f, sont semblables*, et

l’angle AHe = DH f. Il s’ensuit d’abord que eFI/ est une lignedroite, et qu’ainsi les trois parallèles Ee, GH, F 'f, sont situéesdans un même plan, lequel contiendra les deux droites EF,GH ; donc celles-ci doivent se couper en un point M. En-suite , à cause des parallèles Ee, MH, F 'f \ on aura EM. : MF ; ;eH : llf :: AH : HD. Par une construction semblable, oùl’on feroit passer un plan par AB , on démontreroit que HM :MG:: AE:EB.

PROPOSITION XVII.

THEOREME.

lig.193. L’angle compris entre les deux plans MAN, MAP ,peut être mesuré, conformément à la définition, parl’angle N AP que font entre elles les deux perpendi-culaires AN, AP, menées dans chacun de ces plansà l’intersection commune AM.

Pour démontrer la légitimité de cette mesure ilfaut prouver, i°. qu’elle est constante, ou qu’elle seroitla même en quelque point de l’intersection communequ’on menât les deux perpendiculaires.

En effet si on prend un autre point M, et qu’onmene MC dans le plan MN, et MB dans le plan MP,perpendiculaires à l’intersection commune AM; puis-que MB et AP sont perpendiculaires à une mêmeligne AM, elles seront parallèles entre elles. Par lamême raison MC est parallèle à AN ; donc l’angle* l3 BMC = PAN*; donc il est indifférent de mener lesperpendiculaires au point M ou au point A ; l’anglecompris sera toujours le même.

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