GlïOMlîTItlE.

angles droits par le nombre des cotés du polygonemoins deux.

•Ho. D’un même sommet A soient menées à tous lesautres sommets les diagonales AG, AD ; le polygoneABCDE sera partagé en autant de triangles moinsdeux qu’il a de côtés. Mais la surface de chaquetriangle a pour mesure la somme de ses angles moinsdeux angles droits, et il est clair que la somme detous les angles des triangles est égale à la somme des• angles du polygone : donc la surface du polygone estégale à la somme de ses angles moins autant de foisdeux angles droits qu’il a de côtés moins deux.

Scholie . Soit s la somme des angles d’un polygonesphérique, n le nombre de ses côtés; l’angle droitétant supposé l’unité, la surface du polygone aurapour mesure s — 2 (n — 2 ) ou s — 2« + 4-

PROPOSITION XXV.

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THÉORÈME.

Soit S le nombre des angles solides d'un polyèdre , Hle nombre de ses faces, A le nombre de ses arêtes; je disqu’on aura toujours S -+- H = A-t- 2.

Prenez au-dedans du polyèdre un point d’où vous mènerezdes lignes droites aux sommets de tous ses angles ; imaginezensuite que du même point comme centre on décrive unesurface sphérique qui soit rencontrée par toutes ces ligne*en autant de points; joignez ces points par des arcs de grand*cercles, de maniéré à former sur la surface de la sphere despolygones correspondants et en même nombre avec les faces.240. du polyèdre. Soit ABCDE un de ces polygones, et soit n I enombre de ses côtés ; sa surface sera s — 111 -t- 4, s étant l asomme des angles A, B, C, D, E. Si on évalue semblable-ment la surface de chacun des autres polygones sphériques,et qu’on les ajoute toutes ensemble, on en conclura que leursomme, ou la surface de la sphere représentée par S, estégale à là somme de. tous les angles des polygones, moins