N O T E I X. 3 l 5

déduire l’inclinaison de deux faces adjacentes, donne

CO ie tc

cos p o = cot p cot q , ou 7—-— cot — cot Donè, si on ap-r v r 1 OA m n '

pelle R le rayon de la sphère circonscrite au polyèdre ,

et ï le rayon de la sphère inscrite dans le même polyèdre,

on aura — = tans — tang ; d’ailleurs, en faisant le côtét 0 m' 0 n ' ' • '

AB=æ ( oiiaCA:

. 5 r

sin _

, et pfir cçnséqrient R 2 =r 2 -{'

5 T

sm 1 —n

. Ces dçux équations donneront pour chaque polyèdre

les valeurs des rayons R et r des sphères circonscrite et

. . ....... sr

•inscrite. On a aussi,-en supposant C connu, f—±acol —

tang|C et R = i a tang — tang-| C.

m

Dans le dodécaèdre et l’icosaèdre, on voit que le rapport

R 7T T ,

^- a la meme valeur, tang — taug-. Donc, si R est le meme

pour tous les deuxu sera aussi le mênje,; c’est-à-dire, quesi ces deux solides sont inscrits dans une mêm'e sphère, ilsseront aussi circonscrits à la même sphère, et vice versa.Ra même propriété a lieu entre l’hexaèdre et l’octaèdre,

. . : R

puisque la valeur de — est , pour

. k vr

ïang-tang-r.o 4

Remarquons que les polyèdres réguliers ne sont pasles seuls solides qui soient compris sous des polygones régu-liers égaux; car, si on adosse par une face commune deuxtétraèdres réguliers égaux, il en résultera un solide com-Piis sous six triangles égaux et équilatéraux. On.pourroitencore former un autre solide avec dix triangles égaux etéquilatéraux; mais les polyèdres réguliers sont les seuls qui'WétU en même temps les angles solides égaux.