56 o trigonométrie.

est très-petit, son sinus est sensiblement égal à l’are, ainsion a à très-peu près sin a = 0.0001 5 70796 32679 48966.Mais cette valeur est déjà en erreur à la i 5 me décimale,laquelle n’est que le io me chiffre significatif Pour en avoirune plus exacte, le moyen le plus simple est de recourir

aux form ules de l’art. 36 , dans lesquelles, si on fait—=—-—,

n 10000

on aura immédiatement, par les deux ou trois premierstermes de chaque série,

sin a = 0.0001 5 70796 3 ao 33 525563cos « = 0.99999 99876 65994 62400 5 a 53

valeurs exactes jusqu’à la ao rae décimale pour le sinus, etjusqu’à la a4 me pour le cosinus.

xxxviil. Connoissant le sinus et le cosinus de l’arc d’uneminute désigné par a, pour en déduire successivement lessinus de tous les arcs multiples de a, on fera dans les for-mules de l’art. 22, p—x-j-a, q=x— a. La i re et la 3 lne don-neront par cette substitution, et en faisant toujours R=i,

sin (x + a) = 2 cos a sin x — sin (x — n)cos (x -f- a) = 2 cos a cos x — cos (x — a )

Il résulte de ces formules que si 011 a une suite d’arcs enprogression arithmétique, dont la différence soit a, leurssinus formeront une suite récurrente dont l’échelle derelation est 2 cos a , — j, c’est à-dire, que deux sinus con-sécutifs A et B étant calculés, on trouvera le suivant C,en multipliant B par 2 cos a , A par — 1 , et ajoutant lesdeux produits, ce qui donnera C=2B cos a— A. Les cosinusdes mêmes arcs formeront également une suite récurrentedont l’échelle de relation est 2 cos a, ■— 1 : on aura doncsuccessivement,

sin 0=0sin a=sinasin 2n = 2 cos a sin asin 5 a = 2 cos a sin sa —sin asin 4c2=2 cos a sin 3 c—sin 2 asin ècfzz 2 cos a sin 4«—sin 5 a&c.

cos 0 = 1cos a=cos acos 2a = 2 cos as cos as—1cos 3 a ~2 cos a cos 2a —cos acos 4a = 3 cos a cos 3 a—cos 20scos 5a=2cosacos4a—cos 3 ^&c.