Da aber die Coefficienten f,, von n unabhän-

gig sind; so hat man nach dem Satze der unbestimmten

Coefficienten: (m- f- 1) (,= 1 , ( TO + " l , t i mt — m>

1.2

(m-i-i)m(m —i) m(m —1) , . mim — 1)

(i + rrr- ^ 0 ts = ttt"

u. s. w., und daraus : f,

m (m

t _ "• v"‘—')(/”'—>) -

*< —- r. — , t ö = o u. s. r.

120 ,2 . 3

I 1/72

: -) tz~~1 ^3 = — 5 ^4 '

m -f- 1 2 12

’ Oj

Mit diesen Werthen erhält man endlich aus der obi-gen Gleichung i):

2) /(«-) = ^ + T ^ + \ • 7 (T) nm ~' — TT • i ( 3 ) « m - 3

+ *.j(s) n m — 5 — etc.

Anmürli 1. Die in dieser Entwickelung vorkommenden Zah-len 7, 57, 77, 77 etc., mittelst welchen man in dieselbeein einfaches Gesetz hineinbringt, heifsen B e r n o u 11 i seheZahlen [I., 212].

Anmerk. 2, Mit Hilfe dieser Summenformel f(n m ) lassensich auch Reihen summiren, deren allgemeine Glieder dieForm A -f- Bn -ij- C/1 2 -f- . , . besitzen. Denn wäre z. B.ein — A Bn-\- Cn % das allgemeine Glied einer Beihe, sowären ihre Glieder: a 1 — A B -j- C , a„ = A -j- iB -J- 2 2 C,<z 3 A -|- 3 ß -|- 3 2 C u. s. w., also ihre Summe:

a i + a z + a 3 + • • • + Cin — /lA -|- B (1 -j- 2 ... -j— ä)

C ( 12 + 2 ® -f* • • • *f" n ~)>

oder wegen n = f(n°) (weil nämlich f{n°) — 1 -f- 1 -{-...-f- 1 = n ist), 1 -f- 2 + . • . + n = f(n') und 1 2 -|-2 2 .-)-«-=/(n 2 ) , auch : f(an) — f(An° -)- Bn -|- C/1 2 ) = A f ( >i °)+ ß f(n) -f- C f(n 2 ); woraus zugleich noch folgt, dafs dieSumme eines Ausdruckes von dieser Form , nämlich f(An°+ Bn-\-Cn 2 ), aus der Summe eines jeden einzelnen Gliedesbesteht, und die constanten Factoren vor das'Summenzei-chen f zu setzen sind.

Beispiele. Setzt man in dieser Formel 2) nach und nach m — 1,

2 , 3 , < .. so erhält man :

/(/0=- ra( ”±l2, +

I . 2

. 2

3

4