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II. Zerlegung rationaler ganzer Functionenin Partialbrüche.

§. 247. Da sich jede unecht gebrochene Functionimmer in eine ganze und eine echt gebrochene Functionauflösen läfst, so können wir bei den folgenden Entwick-lungen immer echt gebrochene Functionen voraussetzen.

So zerfällt z. B. die unecht gebrochene Function1 -I- x — 5x 2 6x 3

y 2 -p ix ■—• ix-

durcli die Division , bei welcher man zuvor Zähler und Nennernach fallenden Potenzen von x geordnet hat, in die 2 Theile :

5 + i3.r

—. (2 4- 3a) als ganze, und——r-;—- als echt gebrochene

2 -p OX —

Function (erstere kann sich auch auf eine constante Gröfse re-duciren).

§. 248- Um die echt gebrochene FunctionZ a, -f- a 2 x -f- . . + a n x n ~ l

•/V ßi -f- ßi x -f- . . ••)- xn

in Partialbrüche zu zerlegen, mufs man zuerst den NennerN nach 246 in seine einfachenFactoren auflösen. Je nachVerschiedenheit dieser Factoren aber sind nachstehende, inden nächst folgenden erörterten Fälle möglich.

A. Die einfachen Factoren desNenners N sindsämmtlich ungleich und dabei

a) reell.

§. 249. Sind in diesemFalle a, — b t x, a 2 — b 2 x, . .a n — b n x die nach $. 246 gefundenen Factoren von tY; sosetze man

£ = A ' + An -N dj — b t x ^ fl. — b^x

+ • • +

befreie diese Gleich durch Multiplication mit N von denBrüchen, ordne Alles nach Potenzen von x, und bestimmeendlich nach dem Satze der unbestimmten Coefficienten,welcher hier n Gleichungen liefert, die unbekannten Coef-ficienten A ,, A. t , A a .