von die eine in den Abstand fr mit der Abseissenaxe, ond dieandere in den Abstand o mit der Ordinatenaxe (mit welcher siealso zusammenfällt) parallel läuft.

Kennzeichen, ob eine Curve gegen die Ab-scissenaxe concav oder convex s e y.

§• 703. Es seyen für einen beliebigen Punct M derFig.r 9 Curve BMM" [Fig. 79 , a) und ö)j AP — x, PM=y=J(x)o)u.i). jie rec ] ltw Coordin. und PP'= P'P" = h eine beliebigeZunahme der Abscisse, demnach P AT= f(x -)- A) undP"M"— f(x -f- 2 /t) die entsprechenden Ordinaten. Ziehtman durch M und M' die Secante SMM O , und mit A Xparallel die Geraden MF, M V', wodurch (wegen Con-gruenz der beiden Dreiecke M M'Q u. MOV ) O V = M Qwird; so ist in Fig. b ): M"0 = M"F'—M Q, undinFig.a):M"0 = M'Q — M"F‘, also überhaupt: r) M"F'~ M'Qs= + M"O, je nachdem die Curve in M gegen die Abscis-senaxe convex oder concav ist. — Nun ist aber mitZuhilfnahme der Taylor sehen Reihe:

M'Q = P'M' — PM = -j- ■

M"F' — P"M "— P'M' = 4-

dx 1

+ • • • undd x- 2 '

d 2 r 3A a .

-äi-T + * • • ’

folglich: m) M"V' — M'Q

^ + P A3 + ...

Da sich aber unsere Untersuchung nur auf die zu-nächst bei M liegenden Puncte zu erstrecken hat, so kannman h wieder so klein annehmen, dafs das Zeichen derDifferenz m), von jenem des 1 . Gliedes der Reihe, also

dp“ / y*

(da A 2 immer positiv ist) von dem Zeichen von ab-

hängt; dieses inufs also [Relat. r)] für Puncte M oberhalbder Abseissenaxe, oder für positive Ordinaten positivoder negativ sey n, je nachdem die Curve in diesen Punctengegen diese Axe convex oder concav ist; dagegen für Puncteder Curve unterhalb dieser Axe oder für negative Or-dinaten (wie man durch Verlängerung des CurvenastesM" M B, nach abwärts, leicht sieht.) gerade umgekehrt in