An merk. Da der Mittclpunct des Krümmungskrciscs zugleichauch der Durchschnitt zweier nächsten Normalen ist [UI.,177, Note], so enthält die Evolute DOE zugleich auch allediese Durclisclinittspuncte; was man auch ohne weitere Ent-wickelung schon daraus ersehen kann, dafs der Durch-schnittspunet L mit der Curve DOE um so mehr zusam-menfällt, je mehr die beiden Puncte O' und O sich einandernähern.

§. 716 . Um endlich die Gleich, der der gegebenenCurve 1 )j- = /(a;) entsprechenden Evolute zu finden, wird

cl y d'~ y

man aus dieser Gleich. 1) die Quotienten a ^ e **

ten, diese, so wie auch den Werth von y in die Gleich. 2)und 3 ), 5.712, oder noch einfacher, in die beiden erstenvon II), §. 710, substituiren, und endlich aus den beidenresultirenden Gleich., welche sofort nur noch a, ß, x ent-halten, x eliminiren ; dadurch erhält man die Relation zwi-schen a, ß, d. i. die gesuchte Gleichung der Mittel-punctscurve oder Evolute.

Beispiel. Um für die Parabel, deren Gleich. y 1 = p x ist,

die Evolute zu finden, hat man

dy _ p_

1 d'-r— und

dx 2y dx'- 4.F 3

folglich, wenn man diese Wertbe, sammt jenen y — \/px in

die beiden ersternGleich.il), §-710, substituirt: 3 .r-j-a^o

2

und i* y 7± + p =

p

und wenn man daraus x eliminirt:

fl-- — ( a—, als Gleich, der Evolu

27 p \ 2 J

t e.

Diese Curve besteht also aus zwei gleichen entgegengesetz-ten Ästen A' D , Ä D' (Fig. 8 /,), die sich ober- und unterhalb F‘g -84der Abscissenaxe (gegen welche die Curve, wie man nach §. 703findet, convex ist) ins Unendliche erstrecken. Für ß=zo er-hält man aus dieser Gleich, für die Abscisse des Durchschnitts-punctes A' der Curve mit der Abscissenaxe: a = AA' = 7 p.Nimmt man aber diesen Punct A' zum Ursprung der Coordin.,setzt demnach in der obigen Gleich, a 7 p statt «; so erhält

16

man für die Evolute die einfachere Gleich,: r) &’■ — -a 3 , eine

27p