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falls — —, y und —ß statt x, a und ß setzt:

X

f ■ dX . - = C — JL v^x-f ya-S

J x y /,3 x 4- y x ' 1 ß x

also algebraisch.

Anmeri Wie man sieht (vergl. §§. 764 und 67, 771 und 72 ,775 und 76, 777 und 78, 780 und 81), gehören immer zweiFormeln, davon eine das gesuchte Integral durch Loga-rithmen, das andere durch Kreisfunctionen dar-stellt, und wovon immer eine reell ist, wenn die andereimaginär ausfallt, zusammen. [Uber den weitern Zu-sammenhang der Logarithmen und Kreisbögen: III., 3 1 4 >nder Note.]

§. 783. Da man überhaupt eine irrationale Differen-tialformel für so gut als integrirt ansieht, wenn es gelun-gen ist^ sie durch passende Transformationen auf eine ra-tionale Form, oder auch nur auf eine endliche Reihe ra-tionaler Monome Zu bringen; so soll im nächstfolgenden §.dieses Verfahren durch einige Beispiele erläutert werden.

§. 784. Beispiele über das Rationalmachen derirrationalen Differentialformeln.

1. Zur Bestimmung des Integrals y = j- setze man

J x —• 1

Vx = z ; so folgt: xzzz 2 , d x xz 2 z dz und

Pz 2 dz P dz /1 4 -z\

y = 2 J — tf clz ~ =zz — l J (§. 766, Bcisp.),

oder, wenn man für z den Werth in x wieder herstellt:Pdx^x k ./i-fVxX /1—Ux\

J x^r = “ Z (i^vxy + C = * Vx + 1 ( t +^) +c -

Pd x \/ 1 + x 2

2. Um das Integral y—\ --- rational zu machen,

-setze man = «; so folgt daraus

1 /

Es ist daher y — ■sofort rational.

Um dieses letztere Integral zu bestimmen,

und d x