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Mit diesem Wertlie von z gibt jetzt die zweite der ange-führten Gleich.: dX = Q efF dx dx, und wenn man integrirt:a ) X = fQ dx e-P“ dT -j- C. Da aber y — Xz ist, so hat manendlich, wenn in dieser letztem Gleich, für X und z dieWerthe aus a) und a') substituirt werden:

ß) y == e-f Fdx (fQdxe/F dx C).

Beispiel. Um die Gleich, dy + y dx — x 2 dx zu integri-ren , hat man P— 1 und Q=zx 2 , demnaclf ^IfP dx = fdx=z x,und nach der Formel ß) : y = e—*(fx 2 e*dx 4 - C) , oder we-gen (§.814) fx 2 e*dx = e* (x 2 — 23:-|-2) endlich:

y — Ce—* 4" xZ — aa: 4 - ».

Anmerh. Diese gefundene Gleichung difTcrentiirt, gibtdy = dx (23: — 2 — Ce—*),und wenn man aus diesen beiden letzten Gleich, die Con-stanto C eliminirt, erhält man: dy -j - y dx = x 2 dx , näm-lich erst dadurch die ursprünglich gegebene Differentialglei-chung. (Vergl. §.667, Anmerk.) [III., 48 ' — 483 .]

b) Aufsuchung des integrirenden Factors.

§• 848. Aus §. 667 (Anmerh.) folgt, dafs eine Dif-ferentialgleich. der ersten Ordnung zwischen zwei Variablennicht blofs aus der unmittelbaren Differentiation einer Glei-chung mit zwei Variablen, sondern allgemein dadurch ent-steht, dafs man aus einer solchen und der daraus abgelei-teten Differentiajgleich. eine beliebige Constante eliminirt(Anmerk, des-vorig. §.). Besitzt nun die erstere oder ur-sprüngliche Gleich, die Form u — C , wo u=f (x, y) seynsoll; so wird schon durch die unmittelbare Differentiationdie Constante C eliminirt, indem man du= o erhält, undes ist klar, dafs wenn nicht etwa ein vorhanden gewesenergemeinschaftl. Factor aufgehoben worden, aus dieser Dif-ferentialgleich. nach dem sechsten Capitel leicht wieder dieursprüngl. Gleich. u — C zurückgeleitet werden könne, in-dem in diesem Falle du ein vollständiges Differentialeiner Function zweier Variablen x und y ist. t

x

Ist z. B. — — C die ursprüngl. Gleich., so folgt daraus, wennwdoc m xdy"

man diflcrcnliirt: ■■■■ 1 - — o, Wird daher, ohne mit dem

~ o,