Moveatur nunc curva circum axem ipsarum X. Punctum singulare lineam punctorumduplicium procreabit. Superficies autem, quae ita nascitur, hac aequatione determinatur

/(y 2 +nz 2 ) + d= /(x 2 (x+c)). (/1)

Aequatio (A) porro, ipso c evanescente, curvam designabit, quae habet punctum coniunctumin principio coordinatarum. Ea igitur curva, si circum axem ipsarum X convertitur, pun-ctum ingenerabit, quod nos punctum coniunctum conicum appellavimus. Superficieiaequatio fit

y 2 + nz 2 = x 2 (x—b). (y)

Si nunc rursus principium coordinatarum transfertur in punctum x = o y = d, eademquehaec curva sese circum novum axem ipsarum X movet, punctum illud coniunctum lineampunctorum coniunctorum sive lineam singularem sensu strictiore gignet.Superficies, quae hoc motu circumvolvente oritur, hac determinatur aequatione

v^(y 2 + n 2 z 2 ) + <f = v^(x 2 (x—b). (J)

Evanescentibus deinde simul b et c, curva designata aequatione (A) cuspidem habet in prin-cipio coordinatarum. Quae igitur cuspis, curva rotante circum axem ipsarum X, punctumcuspidis conicae, curva autem rotante circum axem y = d, lineam singularemcuspidum provocat. Superficies autem duae, quae ita generantur, repraesentantur his ae-quationibus , altera

y 2 4- n 2 z 2 = x 3 (c)

altera

/(y 2 +n 2 z 2 ) + d = ± x v^Cx). (rj)

Quis autem hic non videt, quam varia lex motus illius et quanta ita singularitatum insuperficiebus generatarum varietas esse possit, etsi punctum, cuius motu nascitur superficies,natura sit simplicicissima, quantoque in inquirendis punctis singularibus superficierum augean-tur difficultates, quae iam quantae sint in ipsis curvis planis, nemo non ignorat. Unum hoctamen facile cognoscimus, singularitates eas, quales sint, ex natura coni, qui formatur lineistangentialibus curvae planae sese moventis, et e sectionibus planorum, per punctum singularedispositorum, determinari aliquomodo. Cuius igitur mihi e natura coni et sectionum naturamquoque singularitatum ipsarum deducere et demonstrare proposui, quatenus hoc a me fieripoterit.

2. Determinatio superficiei formatae iis lineis quae tangunt pun-ctum quodvis datum superficiei cuiusvis datae. — Sit igitur

F. x, y, z = o = V

data superficiei aequatio et

x = az + a'y = bz + b'

lineae rectae systema aequationum, ex quo una cum aequatione

F.az + a', bz-t-b', z = o (i)

calculare potero puncta ea, in quibus recta illa secat superficiem V. Ac si ita instituo rem,ut tangens fiat linea illa, aequatio (1) duas habebit radices aequales, ita ut haec quoque lo-cum habeat

vel, si evolvo

d.(F.az + a', bz+b', z) = o

dV , dV. dV

7-, a + -j- b + . =0.

dxj dy dz

( 2 )

Punctum igitur, per quod linea illa ducitur, si datum erit (x'yV)> aequatio (2) omnes