TRIGOXOMKTP.IK.

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En conséquence <le ces remarques, l’expression de a" (cos)$«se simplifiera ; el, en divisant tous les termes par a, il viendra

[9] a»-‘ (cos <p) n =cos n<p + ” cos (n—a)<p-(- — * ^ cos (w— 4 )<P

, n (n — 1 ) (n — a) ...(?n -|-a)r i.a.3 ....w

cos^.

Supposons en second lieu (jue n soit un nombre pair am.La formule [7] aura am-f-1 termes ; et si on décompose le termedu milieu en deux autres, chacun égal à la moitié de ce terme, ontrouvera, par des réductions semblables aux précédentes,

[10] a»-*(cas <p) n =cosn<p-f-ycos (n —a)<ft-}- —- ” ^ eos (w — 4 )<P

1 . »(>!—»)(»—2)—(n»+i)T.a. 3 .m

Maintenant considérons la formule [8]. Les termes sont affec-tés alternativement des signes-(-et —; de sorte que si n est unnombre impair am-(- 1, les termes également éloignés des ex-trêmes auront des coefficiens égaux, mais de signes contraires.Par suite, en raisonnant comme pour la formule [7], il est facilede voir qu’on aura

(2 \/— l) îm+, (sin <p)2«*+i =i(« —

■-îi a i”(ii''-4— r”-4)

1 . U ' '

j_ »(»-') (»-.>.)..■ ( m-f-a)

' i.u.3.m

n m r m (u —r).

Pour opérer les réductions, on observera enivre que tir = 1, etqu’en général u k — r k = ay/— 1 sin k<p. En conséquence les deuxmembres seront divisibles par 2 y/ — 1 , et il restera

[11] (u\/^i) 3m (sin(p) îm + I =simi<i+”sin(n-2)<p-|-^—— sin(n-4)<?

. n(n — 1 ) ('w—a)..(m- 4 -a) .

.... H—*- i - s —5—~—*— ■ —-sm 4 .

i.a .3 . m T

Lorsque n est un nombre pair ut», les termes également éloi-gnés des extrêmes, dans la formule [8], ont des coefficiens égauxet de même signe ; et en raisonnant ici comme dans le cas ana-logue de la formule [7], 011 trouve facilement