120 DEUXIÈME PARTIE,

et*on a ainsi deux équations entre deux inconnues. Si on faitpasser le point P dans les quatre positions qu’il peut occuper,on verra que ces équations subsistent encore, avec cette diffé-rence que z change de signe quand le point II tombe du côtéNil ', et que u en change aussi quand Q tombe de l’autre côtédu point 31 par rapport au point P, lequel doit toujours restersur la ligne AA'.

. On élimine u en retranchant de la i rc équation deux fois la •)?,et il vient

z 2 = a 2 + m 2 d’où s = ±\Zn 2 -f- ni 2 :

résultat d’une simplicité inespérée, et qui donne lieu à la con-struction suivante.

Perpendiculairement à MN prenez MT = m , et tirez NT :on aura NT = \/a 2 -\-m 2 . Il faut donc porter NT, de N en IIet en R' sur MN prolongée, puis décrire, sur 3111 et MR',des demi - circonférences qui rencontrent la ligne AA' auxpoints P, P', P", P'"; et alors on obtient les solutions du pro-blème en iraçant les quatre droites MQP, MP'Q', P"31Q",P'"MQ"'. Les intersections P" et P'" disparaissent quand ona MR'<[ 2 MC, c’est-à-dire \/a 2 -\-m 2 — a<^ 2 a. De làon déduit aisément m ou bien 031, en re-

marquant que la diagonale 031 = a\Z-x ; donc la plus petiteligne qu’on puisse mener par le point 31, dans l’angle AOB ,est égale au double de la distance 031.

La construction précédente était connue de Pappus, géomètred’Alexandre, qui vivait vers l’an 4oo de 1ère chrétienne.

1 58. Après les développcmens dans lesquels je viens d’en rer,le lecteur à qui les théorèmes de la géométrie sont familierstrouvera peu de difficultés à mettre les problèmes en équation.

Quand la question proposée renfermera des angles, il faudratirer des droites entre les côtés de ces angles, ce qui formera destriangles; et on introduira dans le calcul, au lieu des angles,les côtés des triangles, ou plutôt les rapports de ces côtés. Oupourra aussi se servir des lignes tngonmnélrujues , ce qui est lamême chose au fond : car ces lignes sont elles-mêmes les côtés ,ou plutôt les rapports des côtés de certains triangles rectangles.