GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A LEUX DIMENSION*. 227
égales et de signes contraires : donc l’axe des x divise en partieségales les cordes parallèles à la ligne des y ; donc il est undiainètre.
Quand un diamètre est perpendiculaire à la direction des cordesqu’il coupe par moitiés, c’est un axe de lu courbe. La partie com-prise dans la courbe est la longueur de cet axe. Les points où il larencontre se nomment sommets.
La ligne sur laquelle se comptent les abscisses x, dans les équa-tions [a], [&], [c], est donc un diamètre , et même un axe de lacourbe. Pareillement, la ligne des y est aussi un axe de l’ellipse etde l'hyperbole données par les deux premières : mais elle n’en estpas un pour la parabole donnée par la troisième, parce que x yest au i" degré. On verra plus tard que les axes dont nous par-lons ici sont les seuls qui existent dans les courbes du second opdre.
Dcvelopperaens des calculs qui mènent aux transformée» [F] et [I].
270. L’objet de ce chapitre était de découvrir la forme deséquations les plus simples qui représentent les courbes du secondordre. Il était donc bien plus important de reconnaître la possi-bilité des transformations que de les effectuer; et c’est pourquoij’ai négligé les détails de calcul qui m’auraient écarte du but verslequel je tendais. Je vais réparer ici cette omission volontaire.Supposons d’abord que l’équation
[A] A y % -f- Bxy -f- Cx* + Dij -f- Ex -j- F = o
représente une ellipse ou une hyperbole, et développons les cal-culs nécessaires pour la réduire à la forme [F], My 1 -|-]>U 2 = P,en prenant des axes rectangulaires. La question se résout en opé-rant, ainsi qu’on l’a dit (265), deux transformations d’axes.
Première transformation (260). On fait disparaître les ter-mes du i cr degré, ce qui revient à transporter l’origine au centre;et on obtient une transformée telle que
[C] Aÿ*-j- Bxy -f-Ca; 2 -f-F’ =0.
Les cocfficiens A, B, C, sont les mômes que dans [A] ; les coor-données du centre sont déterminées par les équations
[1] 2Àè-J-Ba-|-D =0, 2Ca-j-Bè+E = o ;
etona F'^^ + Boè + G^-l-Dt-l-Ea+F*.