GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 25£>

Pour un point intérieur N', on a, en suivant la figure,FN' + F'N' <FM + F'M; donc FN' + F'N'< 20.

Ainsi, selon qu’un point est sur l’ellipse, ou au-dehors, ouau-dedans, la somme des rayons vecteurs* menés à ce point, estégale au grand axe, ou plus grande, ou moindre.

3 n. Ce qui précède donne un moyen fort simple de trouverautant de points qu’on voudra d’une ellipse, ou même de la dé-crire d’un mouvement continu, quand 011 connaît son grandaxe BC et ses foyers F et F' (fig. 125).

On prend sur BC une longueur quelconque BK ; du foyer F,avec BK pour rayon, on décrit un arc de cercle ; de l’autrefoyer F', avec CK pour rayon, on décrit aussi un arc de cercle.Le point M, où se coupent ces arcs , appartient à l’ellipse : caron a FM + F'M = BC.

Il est bon de décrire les arcs de cercle au-dessus et au-dessousde l’axe. Par ce moyen on trouve à chaque opération deux pointsde l’ellipse ; et on en obtient quatre quand on porte successive-ment la même ouverture de compas à chacun des foyers.

Lorsque l’ellipse doit être fort grande, comme cela a lieu lors-qu’on opère sur le terrain, on fixe aux foyers les extrémités d’uncordeau dont la longueur est égale au grand axe, et qu’on tendpar le moyen d’un piquet : on fait glisser ce piquet de manièreque le cordeau soit toujours tendu, et la courbe se trouve tracéequand il a fait une révolution entière.

3 12. Proposons-nous de résoudre directement cette question :Trouver une courbe telle que la somme des distances de chacun deses points à deux points fixes soit constante et égale à 2a.

Par les deux points fixes F et F' (fig. 12.4), menons la droitex'x, et au milieu À de FF' élevons la perpendiculaire y'y. SoitM un point de la courbe, abaissons MP perpendiculaire à x'x,et prenons PM' =PM. Le point M' sera aussi à la courbe, caron a FM' + F'M' = FM + F'M = 2 a ; donc la ligne x'x partagela courbe symétriquement. Le même raisonnement s’applique àla ligne y’y. C’est pourquoi l’on choisit x'x et y'y pour axes decoordonnées. Cela posé, puisqu’on doit avoir FM + F'M = 2a,on peut faire

FM = a— 2, F'M=«+2,