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DEUXIÈME PAKT1E.

des diamètres conjugués. Nous savons même qu’ils forment leseul système de diamètres conjugués rectangulaires qui existedans l’ellipse (337) ; et c’est ce qu’on peut retrouver facilement.En effet, supposons qu’il y en ait d’autres : pour ces diamètreson devrait avoir a = go° -}- a, et par suite

sin a' = sin (90° -j- a) = sin (go° — a) — cos a,

COS a' = COS (90° 4- a) = — cos(90° — a) =—sin a.

Ces valeurs étant substituées dans l’équation [2], on aurait

(u 2 — è 2 ) sin«cosa = o;

et comme on ne peut pas disposer des quantités a cl b, 011 ne peutsatisfaire à cette égalité qu’en faisant sin a. — o ou cos« = o, sup-positions qui ramènent précisément aux deux axes primitifs.

Si l’ellipse se changeait en cercle, on aurait a = b, et la der-nière égalité serait vérifiée d’elle-même, quelle que fût la valeurde a. Ainsi, dans le cercle tous les diamètres conjugués sontrectangulaires, tandis que dans l’ellipse les axes seuls jouissentde cette propriété.

349. Si on demandait que les diamètres conjugués fussentégaux, on aurait, en égalant les valeurs de a' 2 et de b ,

a 2 sin 2 a -j- è 2 cos 2 a = a 2 sin 2 a' -J- b 2 cos 2 a'.

En remplaçant cos 2 * par 1 —sin 2 a, et cos 2 a' par 1 —sin 2 *', cette('■quation se change facilement en

(a 2 —è 2 ) (sin 2 a—sin 2 a) = o :

par suite on conclut

sin 2 *' = sin 2 a, cos 2 *'= cos’a,tang 2 a'= tang’a, tanga' = zttang a.

Mais l’équation [6] exige que tanga et tanga' soient de signescontraires, il faut donc prendre tanga' = — tanga. Alors l’é-quation [6] devient

è 2 . ,b

tang 2 a=-—, dou langa=±-.

0 a a

Le signe inférieur est relatif à l’un des diamètres, et l’autre,