51 ‘2 DEUXIÈME PARTIE.

il suffira de mener la droite DE parallèle à HK, et de prendreAD=AE = BI1.

408. La propriété de la tangente n’est qu’un cas particulier dece théorème général : les ■portions d’une sécante quelconque, com-prises entre l’hyperbole et ses asymptotes , sont ég ales cid re elles.

Il s’agit donc de démontrer que 3LN' = MN . Par le

milieu P de MM' et par le centre A, menons le diamètre Ax ,et supposons qu’il rencontre l’hyperbole au point B : son con-jugué A y sera parallèle à MM'. Or, si par le point B on mène ,entre les asymptotes, la droite IIK parallèle à Ay , on doit avoirBH = BK ; donc A* divise en parties égales toutes les droites pa-rallèles à HK, comprises entre les asymptotes; donc NP = N'P ;donc NP — MP = N'P — M'P ; donc MN = M'N'.

La démonstration ne serait pas plus difficile, si le diamètreAu ne rencontrait pas l’hyperbole.

On a maintenant un nouveau moyen très-simple de décrireune hyperbole, quand on en connaît un point 31, ainsi que la po-sition des asymptotes. On mène de ce point une droite quelcon-que NMN', qu’on termine aux asymptotes ; et en portant NMde N' en M', le point M' appartient, à la courbe. En répétantcette construction, on trouve autant de points qu’on veut.

Pour le tracé, il est commode de ne pas mener toutes les lignespar un seul point 31, et de faire servir à cet usage quelques-unsde ceux qu’on détermine. On évite ainsi la confusion qui résul-terait d’un grand nombre de lignes passant par un même point.

On peut employer cette construction quand on connaît lagrandeur et l’angle de deux diamètres conjugués; car alors onconnaît deux points de l’hyperbole, et il est facile de détermi-ner les asymptotes.

409 . En désignant par a et b les demi-diamètres conjuguésAB et AD (fig. 171 ), l’équation de l’hyperbole rapportée à cesdeux diamètres est

a’i/ 1 — b*x* =— a’b ’•,et celle de l’asymptote AII est