GÉOMÉTRIE ANALÏTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 319

Comme la valeur de E doit rester la môine quel que soit a;, nouschoisirons pour x la valeur qui rend l’exposant de E égal à i , lors*qu’on fait n—cc . Or, l’équation

M

donne

n (y x —i) = i

* = ( i + l) n .

Si on développe la puissance, il vient, n f i A , n n —i AN 1 , n

^'-aCü+t'-HJ+ï-

n—i n —2

(iï) ,+eK -

-+(ï-=)+(;-=)Ci-Ê)

+ (î“3

an J V 3 3 n J V 4 4 net, en supposant n= ao, on trouve

) +etc.;

X = 2 "1 - 1 -5 -J- —ô— 7 -J- etc.

1 2 1 2.3 1 2 . 3.4

On démontre en algèbre que la valeur exacte de cette série nu-mérique est irrationnelle. Mais si on prend dans la Série un nom-bre suffisant de termes, on peut obtenir cette valeur avec uneaussi grande approximation qu’on veut. En la désignant, selonl’usage, par e , on trouve

e=2, 718 281 828 4^9 o 45 ...

Maintenant, pour l’indéterminée x, prenons cette valeur par-ticulière, et l’équation [1] devient

[ 3 ] E

Mais l’équation [2] doit se vérifier en posant x = e et n=x> ;donc l’exposant de E, dans l’équation [ 3 ], ( se réduit à 1 quandon fait n = co ; donc E == e. Ainsi, c'est le nombre e qui est la basedu système dans lequel il faut prendre les logarithmes des abs-cisses AP, pour avoir les aires hyperboliques telles que BCPM.

Ces logarithmes sont ceux que Néper, inventeur des logarith-