DEUXIÈME PARTIE.

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de ce point. D’ailleurs, AF étant représenté par jp, le paramètrede la parabole est égal à ip ; donc cette courbe a pour loyer unpoint situé sur sou axe, à une distance du sommet égale au quartdu paramètre.

4 i 5 . Dans l’ellipse, la somme des rayons vecteurs, menés desfoyers à un même point de cette courbe, est égale au grand axe :cherchons la propriété correspondante dans la parabole.

Soit une ellipse (fig. 178) dont le grand axe est AA', et dontles foyers sont F et F'. Décrivons du point F' comme centre,avec AA' pour rayon, une circonférence HBH' ; elle couperal’axe en un point B à une dislance AB = AF. Menons deuxrayons vecteurs FN, F'N, à un point quelconque de l’ellipse, etprolongeons F'N jusqu’à sa rencontre K avec la circonférence ;on aura évidemment FN = NK. Maintenant supposons que l’el-lipse conserve toujours le sommet A et le foyer F, mais que songrand axe augmente jusqu’à devenir infini. A cette limite, l’ellipsedevient une parabole, la circonférence 11 H' se change en unedroite LL' perpendiculaire à l’axe au point B, et la ligne NKdevient perpendiculaire à LL', sans cesser d’étre égale au rayonvecteur NF. La perpendiculaire LL', qui passe à une distance dusommet égale à AF ou au quart du paramètre, porte le nom dedirectrice. On a donc ce théorème : Chacun des points de la para-bole est également éloigné du foger et de la directrice.

Il est d’ailleurs facile de reconnaître qu'à la limite a = 00, l’unedes directrices de l’ellipse devient l.L'. En effet, d’après le 11 0 3 1 5 ,c et d étant les distances du centre aux foyers et aux direc-trices, on doit avoir cd = a\ Nommons d' la distance du sommetA à la directrice voisine, on aura c—a — \p, d=a-f-d', etpar suite

(fx—'ip) (« 4 -d’)=a\

d’où

pa

•ia — p

P

1

P

a

Or, par l’hypothèse a = ce, il vient d'=ip, ce qui donne laligne LL'.

4 aG. Pour trouver directement le foyer de la parabole, onapplique à la définition les calculs déjà faits pour l’ellipse et