550 DEUXIÈME PARTIE.

Ainsi, il est à remarquer que , dans l’ellipse résultant de la sec-tion du cône , le grand axe est égal à AB, que le petit axe est moyenproportionnel entre AC cl BD, et que l'excentricité est égale à AD.

II. Inscrivez un cercle dans le triangle ASB, et soient II, I,K » les points de contact avec les trois côtes. Il est facile de voirqu'on a

AH=AI, BII = BK, SI = SK.

Par suite on a CK = AI = AU. Or, BK—CK*=BC; doncBII— Ail = BC ; donc aussi, en prenant BH' = AII, on auraBII — BU' = IIir=BC. On vient de voir que la distance desdeux foyers de l’ellipse est égale à BC ou AD ; donc les pointsII et H' sont les deux foyers.

Au reste, le foyer II' est aussi déterminé par le cercle décrit au-dessous de AB tangentiellernent aux trois mêmes lignes AB, AR,BT. En effet, si on suppose que H', I', K', soient les points decontact, on a Bir=BK'-=DI\ Par conséquent AU' — BII’=AI'— DI' = AD ; donc II' est l’autre foyer.

Si on mène IL parallèle à AC, le triangle AIL sera semblableù ABD, et on aura

AL : AB :: AI : AD.

Soit O le milieu de AB : on a AB = aOA, AD = aOH,AI■= AU ; donc, au lieu de la proportion précédente, on peutécrire

AL:OA:: AU : OH,ou bien, componemlo,

OL :OA::OA:OII, d’où OLX011=071*.

Pareillement, si on mène K'L' parallèle à BD, on trouveOL'XOIl' =<5Â.\ Alors, en rapprochant ces résultats dun* 3i5, on conclut que les points L et L 'sont les pieds des deuxdirectrices.

III. Si le plan coupant se meut parallèlement à lui-même, lestriangles ADB, ACB, conserveront les mêmes angles ; donc le

rapportas, qui est celui des axes de l’ellipse, restera constant.

C’est en cela que consistent les ellipses semblables.