DEUXIÈME PARTIE.

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En algèbre on démontre que, si on remplace x et y par x-\-ket y -f- k , le polynôme Z deviendra

Z -}- Xli Y li -j- tu,

X et Y étant les polynômes dérivés de Z relatifs à x et à y , et tuétant une suite de termes tous multipliés par des puissances oupar des produits de h et de k.

Cela posé, il est évident qu’en désignant par Z', X', Y', ceque deviennent Z, X, Y, ®, par le changement de x et y enx' et ?/', on aura

Z"=Z'-f-X'/i -j- Y'k + eu' ;

et par conséquent l’équation Z" — Z'= o deviendraX'A -j* 4 'k -}- tu' = o.

maintenant il faut poser k= Ih, et alors, en divisant par h etnommant tu" le quotient de tu' p a c h f il vient

X' + Y 7 +cu" = 0 , d’où l = —

La quantité tu" contient encore li dans tous ses termes ; donc elledevient zéro lorsque, pour avoir la limite a de l, on suppose li —o.Ainsi on a simplement

et par suite l’équation de la tangente sera

X'

y—y'=— ÿ 7 ^—•*')>

ou bien, sous une autre forme, en posant X'x' +Y'y' = V',

[<] Y 'y+X'x=T.

Il serait facile de démontrer qu’au moyen de l’équation Z' = o,la quantité V' se réduit toujours à un polynôme de degré infé-rieur à Z', mais je me bornerai à vérifier cette proposition dansles deux exemples suivans.

( 472. Exemple I. Considérons les lignes du second ordre, dont*T équation générale est

[A] Aï/ 5 -}- Bxji -f- C* 2 -J- Dy -f- Ex -f- F = 0