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DEUXIÈME PARTIE.

Cherchons aussi ce que devient alors le rapport . Soient

o>,p, les coordonnées polaires du point M, et + p-\-lc,

celles du point M' ; de sorte qu’on ait l’angle MAX = «>, AM= p,angle MAN= h, M'N = k. Abaissez AI perpendiculaire à MN ,

on aura MN = aN[ = apsin^/i, donc JfN = ' ^ our

trouver la limite de ce rapport, écrivons-le ainsi :

MN _ sin ±li /tWR~~Jh~ X k Xp ‘

Au moment où M'et 31 se confondent, h devient zéro, et on saitqu’alors le rapport de sin ih à ~h doit être égal à i (5i). De plus,nommons 0 ce que devient le rapport de h à k ; et nous auronsBp pour la limite cherchée. Ainsi, au moment où la sécante de-vient tangente, l’équation [i] donne

[ 2 ] tang A3IT= 6p.

La position de la tangente 3IT ne dépend donc que de la seulequantité 6, qui est la limite du rapport de l’accroissement del’angle <*> à celui du rayon vecteur p; et il est clair que, dans cha-que cas particulier, cette limite se déduira de l’équation polairede la courbe, tout-à-fait de la même manière que si <0 et p étaientdes coordonnées parallèles à des axes.

Quand on emploie les coordonnées polaires, on appelle sous-langente la distance AT comprise entre l’origine et la tangente,sur la perpendiculaire élevée au rayon vecteur par l’origine. Cettedistance se déduit du triangle rectangle A3IT, et l’on a

AT = p tang A3IT = 6p\

474- Exemple. Prenons l’équation polaire des courbes du se-cond ordre (458),

p 1 —ecost» ’

Si on y change » en <» + li , et p en p + k , il vient

1 — ç cos(w-j-/») ’

Par suite, en retranchant p de p + k , on a