574 DEUXIÈME PARTIE,

faudra que les valeurs des coordonnées a, b, soient réelles, eten outre que celle du rapport k soit positive : cherchons quellesconditions résultent de là.

En posant, pour abréger, B 2 — /|AC =N, BD —aÀE = G ,B d—i\e=g, BE — 2CD — II, Be—2C d—h, les équations[ 5 ] et [6] donnent

_G — gk , II — hit

a ~~WT ’ ~Wk~ ;

et en portant ces valeurs dans [8], il vient, tous calculs faits,

aFN— EG - PIIafN — eg — dh

Pour que le rapport k ait une valeur réelle et positive, il faut et ilsuffit que è 2 soit positif. Ainsi, on a encore celte autre condition,que le numérateur et le dénominateur de l’expression précédentedoivent être des quantités de meme signe.

Les valeurs de a et de b étant réelles quand celle de k estréelle, elles ne donnent lieu à aucune condition nouvelle.

486. Lorsque les courbes que l’on compare sont des paraboles,N ou B 2 — 4 AC est zéro, et les valeurs de a et de à semblent de-venir infinies. Mais si, avant d’y introduire l’hypothèse N = o ,on y substitue les deux valeurs de k , on trouvera que dans lesdeux systèmes de valeurs qu’on obtient pour a et b , il y en a unqui sc compose encore de quantités finies après l’hypothèse N=o.

Néanmoins, pour éviter ces difficultés de calcul, il est mieuxde remonter aux équations [ 5 ], [6], [8]. E11 éliminant a entreles deux premières, b disparaît aussi, et l’on trouve immédiate-ment k : on détermine ensuite a et b au moyen des équations [ 5 ]et [8]. La vaj^ur qu’on obtient pour k est

G BD — aAEk ~ g ~~ Bd — aAe ;

et l’on en conclut que, dans le cas où B 2 — 4 AC = o, il faut,au lieu de la dernière condition énoncée ci-dessus, que les quan-tités BD — aAE et Bd — 2Àe soient de même signe.