I
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 383
contrer l’axe Ax en quelque point R, situé entre P et P'. Or il estévident que l’abscisse x = AR est une racine de l’équationf(x) = o ; de là ce principe si connu en algèbre : Lorsque deuxquantités substituées dans l’équation proposée donnent des résultatsde signes contraires, il ij a au moins une racine réelle compriseentre ces quantités.
On voit aussi, à l’inspection de la fig. 222 , qu’entre deux or-données de signes contraires, la courbe peut avoir plusieurs in-tersections avec la ligne kx, mais toujours en nombre impair.Si les deux ordonnées étaient de même signe (fig. 223) la courbepourrait n’avoir aucune intersection entre P et P', ou bien il y enaurait un nombre pair. Donc, si deux quantités comprennententre elles un nombre impair de racines, et qu’on les substitue dansl’équation, on trouvera des résultats de signes contraires; et si cesquantités ne comprennent aucune racine, ou si elles en compren-nent un nombre pair, les résultats seront de même signe.
497. Cependant il y a des cas où la dernière proposition paraîten défaut. Il peut se faire que la courbe, après avoir atteint l’axeAx en un pointR (fig. 224), ne passe pas immédiatement del’autrecôté de cet axe. Alors les ordonnées MP et M'P' peuvent êtrede signes contraires quoique les points communs à la courbe et àl’axe Ax soient en nombre pair. Mais alors aussi on doit observerque l’équation f(x ) = o a un nombre pair de racines égales à AR,et que, par cette raison, il convient de considérer le point Rcomme étant la réunion d’un nombre d’intersections pareil à celuide ces racines égales : c’est ce qu’il faut éclaircir.
Désignons AR par a : pour avoir l’ordonnée y', correspondanteà une abscisse a-{-h, il faut substituer a-\- li au lieu de os dans/(x). Représentons comme à l’ordinaire pai\/(a) ,f(a) ,f'(a),...les quantités qu’on obtient en faisant x = a dans le polynôme/{x) et dans ses dérivés, on aura
!/'=/(“)■
hf{a)’hf"{a) , h 3 f"(a)
etc.
1 1.2 1.2.3
Puisque a ou AR est racine de l’équation, on a f(a) = o ; donc
hf'lfl) , 1er (a) ,
y —
•etc.
1
1.2