406 TROISIÈME PARTIE.

convaincra en remarquant que le parallélipipède est déterminé quand onconnaît les trois côtés x , y y z , et les trois angles x, p ., » ; donc alors ladiagonale l et les angles <t , @ , y , sont aussi déterminés : or, pour cela,il ne faut que quatre équations.

5 a 5 . Éliminons et, yS, y, entre ces équations ; et, à cet effet, multiplionsla première par l , et remplaçons ensuite l cos et, / cos yô, l cos par leursrâleurs : il vient

[i i] t 1 = x * + z* -f- 2Xjr cos x -J-aaz cos /u a/zcos v.

Cette formule fait connaître la diagonale du parallélipipède.

On y parvient encore d’une autre manière. Menons OD j et le triangleODG donne OG a ou

l 3 = (JÏF+ z 3 -{- a2. OD. cos COD.

Mais, d’une part, le triangle OAD donne

OL )’ = ï’ y % ->}- 2xy cos x j

et, d’autre part, le produit OD. cos COD, exprimant la projection deOD sur OC, doit être égal à la somme des projections de OA et AD surla même droite OC : donc

OD. cos COD = x cos -y cos v.

En substituant ces valeurs de ÜD a et de OD. cos COD dans celle de Z a ,on retrouve la formule [u].

526. Si on veut avoir, entre les angles formés par une droite avec troisaxes obliques, la relation analogue à celle du n° 5 ao, il faudra éliminer

l> x, y, z, ou plutôt les rapports-^, entre les équations [10].

Que si on veut connaître l’angle de deux droites en fonction de ceuxqu’elles font avec les axes obliques, on fera la projection du contour*+.r+z , et celle de OG ou /, sur une autre droite OV j puis on éga-lera les deux expressions. En posant VOX= a .VOY ==>£', VOZ = y\GOV= ô, on aura cette nouvelle équation

l cos ô = x cos a'-J- y cos z cûs y ',

dans laquelle il n’y a qu’à substituer les valeurs de x,y, s, tirées deséquations [10] : le facteur l disparaîtra de lui-mêinc, et on aura l’expres-siou de cos ô. Je laisse le lecteur faire lui-même le calcul.

Projections superficielles des aires pianos. *

$27. Si, des diflerens points du contour d’une figure plane, on abaissedes perpendiculaires sur un plan , on formera sur ce plan une autre figurequi e3t la projection de la première.

Prenons d’abord un triangle dont un côté soit parallèle au plan surlequel on projette : on pourra, sans que l’ctendue de la projection soitaltérée, supposer que ce plan a été transporté parallèlement à lui-mêmede manière qu’il contienne le côté qui lui était parallèle Soit donc ABC