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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

Soient les équations de la droite donnée,

x = az-\-a., y = bz-\- @ ;

et soient x', y', z', les coordonnées du point donné. Puisque la droitecherchée doit passer par ce point, ses équations peuvent se mettre sous laforme

x — x' = a'(*_ z'J, y — y’=zb'(z — z'),a et b 1 e'tant encore inconnus.

Quand deux droites sont parallèles , les plans menés par ces droites ,parallèlement à Taxe des j-, sont parallèles entre eux, et par suite leursintersections avec le plan d cxz sont aussi parallèles. Or, ces intersectionssont les projections des deux droites sur le plan de xz ; donc les coefficiensde z doivent être égaux dans les équations de ces deux projections. Il enest de même des projections sur le plan de yz ; donc, pour que les droitessoient parallèles, on doit avoir les conditions

a'=za f b f = b.

Par conséquent, les équations de la parallèle demandée serontx — x=a[z—z'), y y =.b{z z').

Si le point donné est à l’origine, elles se réduisent à celles-ci :x = az, y = bz .

556. Problème III. Déterminer le point d’intersection de deux droitesdont on connaît les équations.

En général, deux lignes dans l’espace ne se rencontrent pas : il faut,pour que cela arrive, qu’il y ait des valeurs d e x t y, z, qui satisfassent àleurs quatre équations. Or, il est évident qu’en éliminant les trois coor-données x , y, z, entre les quatre équations, il restera une équation quiexprimera la condition sans laquelle les deux lignes ne peuvent avoiraucun point commun.

Soient

[>] xz=az-{-a, 1 [3] x — a'z-\-a!, 1

H j y=bz+0, J t-i] y — 0'z + ^', J

les équations de deux droites. De [i] et [3] on tire

[5]

aaf

x=-

a

et de [a] et [4] on tire[6] z

& — Êb—F’

^ bfi' — b'g

Pour que les quatre équations soient vérifiées par les mêmes coordon-nées, il faut que les deux valeurs trouvées pour z soient égales; et il estclair que cette condition suffit. Ainsi, on doit avoir

«' —* _ Æ

a — a! b — b' ’

ou bien

(«' - «) (b - b') - (F -f)(a-a') = o.