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On en tire

TROISIEME PARTIE.

B'ar — BV — C 1

R étant une fonction de x et de y. Il est visible que le plan dont l’équa-tion est

— B'* —B"r — C"A"

z

coupe toutes les cordes parallèles aux z en leurs milieux ; donc, si on avaitpris tout d’abord le plan de xy parallèle à ce plan, on aurait dû trouver,pour ce plan diamétral,

z =’con$tante.

C’est-à-dire qu’alors on a B' = o, B"~o, et que par conséquent l’cqua-

tion de la surface se réduit à

[B] Ax % -J-A 'y* -f- A"z a -J- aB xy aCa: + aC 'y +aC"z -(- F=o.

Afin d’opérer une plus grande simplification, changeons la directiondes x et des y, sans changer ni leur plan, ni l’origine, ni l’axe des z. 11n’y a dans [B] que les termes fonctions de x et de y qui varieront; et ilest évident qu’ils seront, après la transformation, les mêmes que si onn’eût considéré que la trace de la surface sur le plan de xy, laquelle traces’obtient en faisant z — o dans [B], et a pour équation

Ax * A f y* aBjry -J- aCx aC'y -J- F rr o.

Or, en changeant la direction des x et des y, on peut toujours faire dis-paraître de cette dernière équation le rectangle xy : on peut donc opéreraussi la même simplification dans l’équation [B], et par conséquent luidonner cette forme

[C] P**+P'.T* + P"** — aQx — aQ'.y — aQ"z+F=o,

qui est plus simple, et qui comprend encore toutes les surfaces du secondordre.

Il faut bien remarquer qu’on peut avoir cette forme d’équation avecune infinité de systèmes d’axes obliques : car d’abord on peut donner uneinfinité de directions différentes aux cordes parallèles de la surface, cequi change l’axe des z ; et ensuite, quand le plan de xy est déterminé, onpeut encore faire évanouir le rectangle xy en variant d’une infinité de ma-nières les axes des x et des y. Et remarquez encore que tous ces cbange-mens se font sans déplacer l’origine primitive, qui reste tout-à-fait arbi-traire.

Réductions ultérieures.

6oi. Maintenant, pour obtenir de nouvelles simplifications, disposonsde l’origine. A cet effet on remplacera x 9 y, z f paret l’équation [C] devient[O]

+> (P/- Q ) *+3 ( P'/j - <nr+* ( P' 1 *-Q") *

+ p /' + l’V + P "A 5 — 20 /— 2 Q'£ — aQ"A + F