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TROISIEME PARTIE.

Remarques sur les équations réduites. Distinction entre les surfaces qui ont un centreet celles qui n*en ont pas.

600 . Le caractère distinctif des surfaces renfermées dans les équationsréduites [E] et [F], et qui résulte de la forme même de ces équations,c’est que les unes ont un centre et que les autres n’en ont pas. *

En effet, les équations d’une droite passant par l’origine sont xexzaz,yzrzbz; et en les combinant avec [E], on aura, pour les deux points Met M' (fig. a 8 ), où la droite rencontre la surface, des coordonnées égaleset de signes contraires. De là, il est facile de conclure que l’originecoupe en leurs milieux toutes les cordes menées dans la surface par cetteorigine. Or, cette propriété est la définition même du centre.

Quant aux surfaces de l’équation [F], si elles avaient un centre, onpourrait y placer l’origine ; et en menant, par cette origine, une cordequelconque entre deux points de la surface, les coordonnées de ces deuxpoints ne devraient différer que par les signes. Pour que cela soit, il estfacile de reconnaître que l’équation de la surface ne doit renfermer aucunterme du premier degré : or, quand nous avons déplacé l’origine ( 601 )pour passer de l’équation [C] à la transformée [F], nous n’avons conservéle terme en x que parce qu’il a été impossible de le faire évanouir; doncl’équation [F] ne représente que des surfaces dénuées de centre. Il est bienentendu que Q est différent de zéro; autrement, l’équation [F] serait uncas particulier de [E].

6o3. Cependant, il faut observer que si ces dernières surfaces n’ontpas de centre, c’est parce que les coordonnées qui déterminent en généralla position de ce point deviennent infinies, ou au moins l’une d’elles.Ainsi, à parler exactement, ces surfaces doivent être regardées commeayant un centre situé à l’infini ; et par conséquent, on pourra leur appli-quer les propriétés des premières en y faisant les modifications conve-nables. C’est ainsi que les paraboles sont des ellipses dont les axes sontinfinis. *

6o4« La forme de l’équation [E] met encore en évidence d’autres pro-priétés. Comme elle ne contient x , jr, z t qu’au carré, si on coupe lasurface par des plans parallèles au^lan de deux axes coordonnés, on voitfacilement que les sections sont-él^ courbes qui ont leurs centres sur letroisième. Or, cette propriété est celle que nous prendrons pour la défi-nition des diamètres ; donc les axes actuels des coordonnées sont des dia-mètres de la surface. •

Quand le diamètre est perpendiculaire aux plans des sections paral-lèles , c’est un diamètre principal ou un axe de la surface.

6o5. Il est évident aussi que l’équation [E] donne pour chacune desvariables deux valeurs égales de signes contraires. Chaque plan coordonnécoupe donc en leurs milieux une suite de cordes parallèles; et, pour cetteraison, on dit qu’il est un plan diamétral.

Quand un plan diamétral est perpendiculaire aux cordes qu’il diviseen leurs milieux, on le nomme plan diamétral principal , ou simplement