450 TROISIÈME PARTIE.
asymptotes communes aux projections des deux sortes d’hyperboles (fig. 3 a).Les coupes parallèles au plan de yz donnent des remarques analogues.
On doit maintenant se faire une idée assez nette de la surface que nousétudions, laquelle est, comme on voit, tout-à-fait differente de l’ellip-soïde. On la nomme Hyperboroïde a une kappe. ^
Pour meltre en évidence les diamètres de cette surface, on divisel’équation [P'] par H, on fait, comme dans le n° 589,
et il vient[?>']
=v /*,
a 2 ^ b 2 c 2 U
La surface rencontre le diamètre des x et des y aux distances a e.tb. Maiselle ne rencontre pas le diamètre des .s / car, en faisant x = 0 et y = o, ontrouve z=z’+ic\/ — 1. C’est pourquoi l’on dit qu’il y a deux diamètresréels et un diamètre imaginaire.
Quand les coordonnées sont rectangulaires, et qu’on suppose b = a,
l’e'quation [//] devient x* -\-y '—— z a —: alors la surface peut e ^ re
engendrée par une hyperbole tournant autour du second axe. C’est unhypci'boloïde de révolution a une nappe.
61,1. Le dernier cas des équations qui représentent des surfaces douéesde centre est
[P"] Vx 2 +PV — P V, = — H.
On trouve, pour les sections des plans coordonnés,
Px’ + PV = —H, Px* — P"z a = —H, P> a — P"z a —_ H.
La première équation est impossible, ce qui prouve que le plan de xy nerencontre pas la surface; les deux autres équations représentent des hy-perboles (fig. 33 ).
L’équation [P"j donne
Px’ + PV— PV- H,
et de là on conclut que, depu^zr= o jusqu’à zz=z±\/ , la surface
n’est point rencontrée par un plan ptli'allèle à celui de xy : de sorte que,H
si on prend OC = OC' et qu’on mène les plans RCS , R'C'S',
parallèles à celui de xy, la surface n’aura aucun point entre ces plans.Lorsque z=:±:OC, la section n’est encore qu’un seul point, C ou C' ;mais, en faisant croître ensuite z jusqu’à il GO , on obtient des ellipsesréelles, telles que aba'b ', dont les diamètres augmentent jusqu’à l’infini.
Quant aux sections parallèles au plan dexz, ou à celui de yz, ellessont toujours des hyperboles semblables et semblablement placées.
La forme de la surface est facile à saisir. Elle diffère essentiellement del’ellipsoïde, en ce qu’elle s’étend à l’infini; et, de l’byperboloïde à une