462 TROISIÈME PARTIE.

qu'on mène, dans ces sections , des cordes parallèles : comme ces sections(du moins lorsque P' est différent de P") sont des ellipses ou des hyper-boles qui ont leurs centres sur la ligne des x , et leurs axes parallèles auxY et aux z y il est clair qu’un plan ne peut pas couper les cordes parallèlesperpendiculairement en leurs milieux, à moins qu’elles ne soient paral-lèles aux y ou aux z. Or, dans le premier cas, le plan principal coïncide-rait avec celui de xz ; et, dans le second, avec celui de xy*

Si on avait P ff = P', les sections parallèles au plan de yz seraient descercles, et alors tout plan mene' par l’axe des x pourrait être pris pourplan principal.

Cas dans lesquels il y a uûe infinité de plans principaux. Conditions pour que la surfacesoit de révolution-

635 . Nous avons dit (629) qu’une surface du second ordre a quelquefoisplus de trois plans principaux, à cause de l'indétermination qui peut avoirHeu dans les équations [2] du n» 627. Ce cas ne peut pas arriver, à moinsqu’une valeur de x, tirée de l’équation [ 3 ], ne rende indéterminée aumoins une des quantités i et i'. Supposons que ce soit f : on aura à lafois les deux équations

(x — A')B' + BB":=o, (x — A)(x — A') — B 2 =:o.

BU"

De l’une on tire x = A'-jÿ-j et cette valeur étant substituée dans l’au-

tre, il vient

/ x BB"\ BB" ,

( A _A -E 7- )‘B r ' + B _ °’

ou, sous une autre forme,

M A

BB'_ , BB"

B" — A B' :

première équation de condition.

Si on met la valeur de \ dans les trois équations [2] , et qu’on opèreles réductions qui résultent de la relation [a], on verra que la secondeéquation devient identique avec la première, ce qui est conforme auxthéories de l’algèbre. Il n’y aura donc pins que deux équations, lesquelles

sont

, „ B'B"

[«]

B' 34-B"J-'+i-^-=o,

BB" , , „

[2]

B' rf'+B"<r' + A ^+A"

Pour qu’elles ne soient pas contradictoires, il faut qu’on ait’ A"

, BB" B'B"

A +-r =—■

ou bien

[*]

A'

BB" IHB"

TV - B :

seconde équation de condition.