472 TROISIÈME PARTIE.

Désignons en général par X, Y, Z, les polynômes dérivés de F (a, y, z ),relatifs à x ,jr, z, et par X', Y', Z', ce qu’ils deviennent pour les valeursX — x',y = y J , z=.z' j divisons l’équation précédente par h, et observonsqu’on af—ah, g — /ih : il viendra

X'a + Y'/S + Z'-f »'=o,

a' étant une quantité qui contient encore le facteur h dans tous sestermes.

Cette équation doit avoir lieu , quelque rapprochés que soient lespoints M etM'; donc elle subsiste encore quand ils se confondent. Maisalors h ==: o ; par conséquent »'= o , et l’équation devient

[3] X't + Y'yê + Z^o.

Telle est la relation qui doit lier entre elles les quantités a. et /S, pour queles équations [a] soient celles d’une tangente à la surface , au point dontles coordonnées sont x' , z'. Pour avoir le lieu de toutes les tangentesen ce point, il faut éliminer a et /S entre les équations [a] et [3]. De cettemanière on obtient

[4] XV - *0+Y'(r - r')+z/(* - *0=o,

équation qui représente un plan : c’est le plan tangent à la surface, aupoint donne'.

649* On parvient encore a cette équation d’une manière simple, enregardant les surfaces courbes comme composées de faces planes infini-ment petites : mais reprenons les choses de plus haut.

Soit ABD (fig. 4o) une courbe, dans laquelle on a inscrit un polygone jet supposons qu’on augmente de plus en plus le nombre de scs côtés, enplaçant de nouveaux sommets entre les premiers. On aura ainsi une suitede polygones inscrits dont la courbe est la limite , et c’est ce qu’on exprimeen disant qu’elle peut être considérée comme un polygone d'une infinitéde côtés , dont chacun est infiniment petit. Alors aussi ces côtés infinimentpetits sont nommés les élémens de la courbe.

Soit BCL un côté, indéfiniment prolongé, du polygone ABCD.A mesure que les côtés diminuent, le point C se rapproche du point B;et, à la limite, il est clair que la droite BL devient tangente à la courbeau point B. C’est ce qui fait dire que la tangente a une courbe est le pro-longement indéfini d'un élément de cette oourbe.

Les considérations précédentes s’appliquent naturellement aux surfacescourbes : c’est-à-dire qu’on peut les regarder comme des polyèdres d'uneinfinité de faces infiniment petites; et alors le plan tangent est le pland'une face, prolongé indéfiniment.

De cette manière de présenter le plan tangent, il résulte comme consé*qucnce qu’il doit, contenir toutes les tangentes menées à la surface par lepoint de contact. En effet, si on prend sur la surface, autour de ce point,un espace aussi resserré qu’on voudra, on peut le considérer comme unélément plan dont le prolongement indéfini détermine le plan langent.Concevons ensuite différentes courbes tracées sur la surface par le pointde contact : il est évident que chacune d'elles aura un élément situé dans