512 TROISIÈME PARTIE.

mment en tous sens, est langent à la surface en chaque point de la géné-ratrice donnée.

720 . La de'finition des surfaces développables peut se ramener à une'noncé auquel le calcul algébrique s'appliquera plus facilement qu’à lade'finition elle-même; et c'est cet e'noncé que je vais faire connaître.

Considérons la surface qu’on obtient en prolongeant indéfiniment lescôtés d’un polygone ABCD .... (fig. 53), dont trois côtés consécutifs quel-conques ne sont pas dans le même plan. Cette surface, ou, si l’on veut,ce polyèdre , se compose de faces PAQ, QBR, ... qui ne sont autre choseque des portions angulaires de plans. Et même rien n’empêche de conce-voir toutes les arêtes comme prolongées de l’autre côté du polygone. Decette manière on forme une seconde nappe de la même surface polyédrale,et qui est séparée de la première par le polygone ABCD...., de même queles nappes d’un cône le sont par le sommet.

Cela posé, imaginons que le polygone soit inscrit dans une courbedonnée, et augmentons successivement le nombre de ses côtés. On dé-terminera ainsi une série de polyèdres sur lesquels chaque arête sera dansun même plan avec l’arête immédiatement voisine; et par conséquent lalimite de ces polyèdres sera une surface courbe douée de la même pro-priété, c’est-à-dire qu’elle sera une surface développable.

Remarquons en outre, qu’en passant ainsi à la limite, le polygone scconfond avec la courbe donnée, et que les arêtes du polyèdre deviennenttangentes à cette courbe. Donc, en général, une surface développablepeut être décrite par une droite qui reste constamment tangente a unecourbe. Monge appelle cette courbe arête de rebroussement.

Le cylindre et le cône échappent à cette génération, parce que, dansl’un, les génératrices sont parallèles entre elles, et que, dans l’autre,elles passent toutes par un meme point.

721. Problème. Trouver Véquation d'une surface développable dont onconnaît Varéte de rebroussement.

Supposons que les équations des projections de cette arête soient

[i] *=+(*).

p et 4 étant des signes de fonctions. Il est facile dq reconnaître que lesprojections de la tangente à une courbe sont tangentes aux projections decette courbe ; donc, si on nomme a-, B, y, les coordonnées d’un pointquelconque de la courbe donnée, on aura, pour la tangente en ce point,les équations

M X —i® ■= («•) (*—«■), z — y = ¥(a.)(x —a.):

en dénotant par p' et et 4 ' deux fonctions qui doivent se déduire des fonc-tions p et 4- On a d’ailleurs entre B, y, les relations

[3] £=*(*), 1=4 W-

Ici les indétermine'e 8 a, B, y, sont celles dont la variation fait mouvoirla génératrice ; et ce sont elles qu’il faut éliminer entre les équations [a]et [3] pour avoir l’équation de la surface développable.

Il n’y a pas plus de difficulté lorsqu’au lieu des projectious de l’arête derebroussement, on donne deux surfaces sur lesquelles cette courbe est