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Es sei gegeben der Kreisabschnitt .480, in demselben irgend ein Dreieck 480. Gesuchtder geometrische Ort 41 sür den Mittelpunkt 41 des innern Berührungskreises und 41' deS derGrundlinie 48 zugehörigen äußern Berührungskreises. Fig. 1.

Auflösung: Man beschreibe aus der Mitte X des untern Bogens 48 einen Kreismit 4X — 8 X, sein oberer Bogen ist der geometrische Ort für die Mittelpunkte 41 der innernBerührungskreise, sein unterer für die Mittelpunkte 41'der äußern Berührungskreise, welchedie Grundlinie 48 und die Verlängerung der Seiten 40, 80 berühren.

Beweis. Es sei W X04 — X08 - - — X48

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W X4N — X4I4 oder ^ -s- W 8441 — W 4104 -s- W 4140— ^ -s- W 4140

also W 8441 — 4140 — wenn W 840 — 7 , W — 480 —

folglich 441 Halbirungslinie des W 7 , somit 841 des Winkels /? oder 480.

Ferner ist W 4I'44I — 8

41'48 — 8 — ^

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4I'4X — 28 — -< — 8 — 8 — '

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folglich 441' Halbirungslinie des Außenwinkels 844 Ebenso beweist man, daß 841'die Halbirungslinie des Außenwinkels 480 ist. Also ist 41' der äußere Mittelpunkt.

Es liegen demnach äußerer und innerer Mittelpunkt für eine Seite 48 je auf derHalbirungslinie des Gegenwinkels «. Es steht 441' senkrecht auf 44l und 84l' senkrecht auf841. Sucht man die entsprechenden Mittelpunkte 41', 41", 41'" sür 48, 40, 80, Fig. 3,so entsteht ein Mittelpunktsdreieck 4I'4I"41'", gebildet durch die Halbirungslinicn der Außen-winkel des ursprünglichen Dreieckes 480, die geraden Linien 44I4I'", 84I4I" 04I4I' werdendie Höhen des ursprünglichen Dreieckes, und das ursprüngliche Dreieck ist das Höhendreieck desMittelpunktsdreieckes. Die drei Kreise, beschrieben aus den Mittelpunkten der drei Kreisbogen48, 80, 04, schneiden sich in 41, dem Mittelpunkte des innern Berührungskreises.

Man sieht leicht, daß man ein Recht hatte, die verschiedenen Winkel in Fig. 3 so zubezeichnen, wie es geschehen ist.