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DÉVELOPPEMENTS EN SERIES.

ffl ('ffi \ } -L- ty, ( îîi—~2 ÎBB

Le coefficient de la 2° puissance de z peut s’écrire —s-- 1 ——'

■m (m 4- n — 4) -j-n (m-f-n — 4) (m-fn) ( m 4-n— i) . „„ nY

— — -^——- ■ = -— 1 — ’ v 2 -en sorte que ceux

des termes du produit que nous avons cherchés produisent en résultat

f (m). f (m) = 4 (m + ») z-|--- z 2 + + z : “+

En admettant que les coefficients non inscrits suivent toujours lamême loi de formation, ce dont on s’assurerait en poussant plus loin l eSmultiplications directes, on peut remarquer que le second membre est

un développement de même forme que f (m)=l+mz-f-.+ 1 " 1 ’

dans lequel m est remplacé par m -J- n. On est donc en droit d’écrire

f{m) f[n)=f(m+n)

le signe f () désignant toujours un développement de la forme de celu 1dont nous cherchons la signification. On aurait de même

f{m) f (n) f (p) .= /-(i» + » + p+.... )

En égalant m.n.p.,., on aura f ( m) a = f (ma), équation dans laquelleest quelconque, et a entier et positif puisqu’il exprime le nombre d emultiplications effectuées, mais illimité depuis un jusqu’à l’infini.

Exposant fractionnaire. — L’exposant m étant supposé fractionnaire

on peut le représenter par une fraction dont les deux termes sont entiers-

a

Choisissons a pour le dénominateur de cette fraction et posons m = «’a et a étant entiers. Appliquons ici la formule f (m) a = f (ma), ell edeviendra f ^—f (a). IVIais a étant enlier, la loi du développeined

du binôme lui est applicable, et f (a)=(4 -j- z)“, ce qui conduit a

^(a) a “ ou f +«)«• La loi applicable à l’expos aIlt

entier, l’est donc également à l’exposant fractionnaire.

Exposant négatif. — Nous avions trouvé d’abord l’équationf (m) f n) = f(m-\-n) dans laquelle m et « sont quelconques. On P eutdonc y supposer m = — n. D’où

f(m) f(—m) = f(o).

I r*"

Si nous nous reportons à la forme du développement 1 -f- wiz -f-. • --r *qui représente le signe f, nous verrons qu’en y faisant m = o, h seréduit à f (o) = 1. Donc

f ( m ) f (— «0 = 4. f (— m)

4

fi.” 1 )