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Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers.
verschiedene Beobachtungsfehler so ziemlich gleich wahrscheinlichsind, so ändert sich jene Function nur wenig, wenn x sich umwenig ändert, und ist mithin eine stetige Function von x. Be-zeichnen wir sie durch fix), so muss ferner /(— x ) = f(x) sein,da gleich grosse positive und negative Beobachtungsfehier gleichwahrscheinlich sind; ferner muss diese Grösse mit wachsendem xrasch abnehmen, indem halbwegs beträchtliche Fehler nur sehrwenig wahrscheinlich sind; absolut Null wird sie jedoch nur für
cc sein.
Daraus folgt,
(lf ( rg\ ^ * *
dass - ^ • für positive x negativ, für
negative x aber positiv sein muss, während f(x) immer positiv ist.Um nun aber die analytische Form der Function f(x) kennenzu lernen, werden wir folgende Untersuchungen anstellen.
Wir wollen annehmen, ein und dieselbe Grösse A (ein Win-kel z. B.j’sei sehr viele Male gleich sorgfältig beobachtetworden und man habe dafür die Werthe a x , a 2 , . ., a n gefunden.
Ist nun z der wahre Werth von A, so hat man also die Fehlerz — aj, z — a 2 , . . ., z — a n begangen. Nun wären die Wahr-scheinlichkeiten, überhaupt die Fehler z —%, . . ., z — a n zu be-gehen, dem Vorstehenden gemäss: f(z — a 1 ),f(z — a 2 ),...,f(z — a n );somit wäre die Wahrscheinlichkeit, sie alle (nach einander odergleichzeitig ist hier gleichgültig) zu begehen (nach Einleitung V.):f(z — a{) f(z — a 2 ) . . . f(z — a n ) , welches Product zur Abkür-
zung mit P bezeichnet werden möge *).
Diese Grösse P hängt
aber von dem Werthe von z, den man nicht kennt, ab; nimmtz verschiedene Werthe an, so ist dies auch mit P der Fall.Welchen Werth nun ^ habe, wissen wir nicht; eben deshalb müs-sen wir alle möglichen Werthe zulassen. Seien so z lt z if z 3) ...eine Reihe auf einander folgender Werthe von z; P 1} P 2 , . . .die zugehörigen Werthe von P, so drücken diese letzteren dieWahrscheinlichkeiten aus, dass je ein bestimmtes System von nBeobachtungsfehlern zum Vorschein kommen werde. W'ir könnensomit — gemäss Einleitung VI. — die Werthe von z als ebenso viele Ursachen ansehen, aus denen dasselbe Ereigniss, nämlich
*) P ist also die zum Voraus berechnete Wahrscheinlichkeit, dass bei nauf einander folgenden Beobachtungen der Grösse A die Fehler z — a,,z — a 2 , ..., z — a n eintreten werden.