126 HISTOIRE

cotte conchoïde n’est autre chose qu’une hyperbole entre ses

asymptotes.

SI nous nous attachions à suivre pas à pas la géométrie deDescartes, il nous faudroit parler ici de sa méthode des tan-gentes , dont l’exposition soit immédiatement les découvertesqu’on vient de voir. Mais , on l’a déjà dit, Descartes, en écrivantsa géométrie, s’est beaucoup plus livré à l'ordre de ses idées,qu’à celui des matières, de sorte que parmi les qualités de cetouvrage mémorable , on ne doit guère rechercher celle del’arrangement. C’est pourquoi nous l’abandonnons ici , pourparler de sa manière de construire les équations déterminéesdu troisième et du quatrième dégré. La méthode des tangen-tes, à càuse de son importance, sera l’objet d’un article par-ticulier.

De même qu’un problème qui conduit à une équation dusecond degré se construit par l’intersection d’un cercle oud’une ligne droite, ceux qui conduisent à des équations d’undegré plus élevé exigent des courbes d’un ordre supérieur. Onchercheroit en vain le moyen de construire une équation dutroisième ou du quatrième degré par le moyen ele la règle etdu compas, les géomètres regardent comme démontré que celaest impossible. Leurs raisons tiennent à la nature des équalionsjmais il seroit trop long de les développer ici.

Descartes réduit la construction de toutes les équationscubiques ou quarré-quarrées, à un même procédé, dont lescliangemens sont indiqués par la forme et par les signes destermes. Il considère pour plus de généralité les équations cu-biques sous la forme de celles du quatrième degré, dont ledernier terme seroit égal à zéro, un de ses facteurs étant nul ;ce qui est fort ingénieux. Il suppose aussi que l’on ait fait éva-nouir le second terme (ce qui est toujours facile) : après quoiil détermine le paramètre de la parabole convenable avec laposition du centre du cercle qu’il faut décrire et qui doit lacouper. Dans les équations du troisième degré, il passe par lesommet, et s’il y a trois racines réelles, il coupe la paraboleen trois points , d’où les ordonnées abaissées sur l’axe de laparabole sont les trois valeurs réelles de l’inconnue. S il n’y ena qu’une réelle, les deux autres étant imaginaires, le cerclepassant par le sommet de la parabole, ne la coupera qu’en unpoint qui donnera de la même manière la racine réelle et uniquede l’équation. Dans celles du quatrième degré, où il doit yavoir quatre racines réelles , ou deux seulement, ou aucune , laforme de la construction détermine le cercle , à couper laparabole en quatre points, ou en deux, ou en aucun. S’il y adeux racines égales, le cercle touchera seulement la parabole,