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est la même chose, un point de contact équivalent à deuxd’intersection. Aussi dans la ligure 47 > n°. 1 et 2, bn voit lacourbe à inflexion Al)BE touchée en un point D par unedroite et coupée par la même droite en un point E. Supposonsprésentement le point de contact D se rapprocher de celuid’intersection E , il y aura un point comme B où ils se con-fondront , et la tangente touchera en même temps et couperala courbe. Or ce point ne peut être que celui d’inflexion ;il y aura donc dans l’équation formée suivant la méthode deDescartes , comme pour tirer la tangente à la courbe , il y aura ,dis-je , trois racines égales. Car les trois points d’intersectionqui donneroient rois racines inégales , ou trois abscisses diffé-rentes pour chacun d’eux s’ils étoient séparés , en donneronttrois égales lorsqu’ils se confondront en un seul. Ainsi ensuivant le procédé de Descartes pour sa méthode des tangentes,il faudroit égaler l’équation en question, à une autre feinte etayant trois racines égales. Par là on trouveroit la grandeur del’abscisse répondante au point d’inflexion.

La détermination des asymptotes des courbes est encore unedes branches importantes de la méthode des tangentes, et nousne devons pas l’oublier. Les géomètres savent qu’on appelleasymptote d’une courbe la ligne vers laquelle elle s’approche ,nous ne disons pas seulement avec quelques Auteurs peuexacts, de plus en plus, mais de telle sorte que leur distancedevienne moindre que toute grandeur donnée, sans cependantjamais se rencontrer. La géométrie moderne considère ceslignes d’une manière très-lumineuse. Elle les regarde commedes tangentes à un point infiniment éloigné de la courbe, quipassent cependant à une distance finie de son axe, ou qui lerencontrent dans un point qui n’est éloigné du sommet qued’une quantité finie. La courbe de la fig. 48 > n °- 1 » nous offreun exemple des asymptotes de la première espèce , et l’hyperbolerapportée à son axe tranverse ( fig. 4b , n°. 2 ), nous en pré-sente un de celles de la seconde. Mais avant d’aller plus loin,il est besoin de quelques observations préliminaires.

La première, est que lorsque dans une expression algébrique ,comme x 1 + a x + b , on fait l’indéterminée x infinie , alorstous les termes où elle ne se trouve pas, aussi-bien que tous ceuxoù elle est dans un degré inférieur, s’évanouissent; et le seulou les seuls termes, où elle se trouve à la plus haute puissance ,subsistent. La raison de cela est aisée à sentir : un quarré dontles deux dimensions sont infinies , est infini à l’égard d’unrectangle qui n’en a qu’une d’infinie, et ainsi des autres puis-sances. Par conséquent les plus basses s’anéantissent en com-paraison des plus hautes.