DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Ltv. II. i5?fondée sur les mêmes principes , et n’en diffère que dans lesmoyens de parvenir à l’équation finale. Ainsi , tout ce qu’ona dit sur celle-là doit s’appliquer à celle ci.

La méthode qu’on vient d’exposer s’applique aussi à la dé-termination des points d’inflexion , et autres cas où il s’agit,de déterminer l’équation à contenir plus de deux racines égales;car pour les trouver , par exemple , s’il y en a trois , commedans le cas des points d’inflexion , il faudra d’ahord multiplierl’équation de la courbe ordonnée, comme on l’a dit, par uneprogression arithmétique ad libitum , ensuite l’équation résul-tante par une progression arithmétique , soit la même , soitune autre , ou ce (pii revient au même , il faudra prendre deuxprogressions arithmétiques , les multiplier terme par terme , etse servir des termes en résultant , pour multiplier les termesde l’équation donnée : celle qui en naîtra contiendra l’une destrois racines égales. Il est aisé de voir ce qu’il conviendroit defaire si quelque problème conduisoit à une équation qui dûtcontenir quatre racines égales, comme il arrive dans la théoriedes courbes , où il y a des points dont la recherche conduità de pareilles équations. Nous ne pouvons entrer dans de plusgrands détails sur ce sujet ; nous nous contenterons d’indiquerdes livres or't il est plus développé, comme le Commentaire duP. Jîalmei , et Y Analyse des infiniment petits , où l’on trouvela comparaison de la règle de liudde , avec celle du calculdifférentiel.

lluygens et Sluse piirent une antre route que Hudde , ets’attachèrent à s’implifier les procédés de la règle de Fermât.Reprenons cette règle , et examinons ce qui se passe dans lesopérations qu’elle prescrit. Nous allons voir naître les abrégésde calcul que ces deux géomètres ont remarqués. Qu’on aitcette expression x 3 — ax 3 où il faut déterminer la valeur de æ ,quand cette expression est la plus grande ; suivant la règle deFermât , il faut augmenter ou diminuer la valeur de x d’unequantité indéterminée e, en sorte que x devienne x -f e ; en-suite dans l’expression donnée x 3 - ax 3 , substituer au lieu de

.T 3 et x 3 , les mêmes puissances de xiYze ; supprimer tous lestermes communs aux deux expressions , et ceux où e est an-dessus du premier degré ; diviser ensuite par e , il en résulteraune équation qui donnera la valeur cherchée de x. En suivantce procédé dans l’exemple proposé, nous aurons d’abord x 1 — ax 3 ,

changée en x 3 -J- âex 3 -f- be 3 x-\-e 3 - ax 3 - ôaex - aee , dont

ôtant les termes communs , ils se réduiront à '6ex 3 •— '5e 3 x

4- e 3 - iaex - aee, dont il faut encore supprimer tous les

termes où e est au-dessus du premier degré , et diviser ensuitepar e , on aura enfin àx —- aa = o , ou x = f a , comme on