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NOTE

D U

SECOND LIVRE.

NOTE A .

Nous avons promis quelques exemples de l’utilité des équations algébriques

pour reconnoître facilement la forme et les propriétés des courbes ; nous allonsen conséquence entrer ici dans plus de détails que nous ne pouvions le fairedans le cours de notre narration. Commençons d’abord par un exemple desplus simples. Ce sera une équation du second degré, telle que ax -f- xx — yy( y exprime l’ordonnée, et x l’abscisse ) , et l’on demande la forme de la courbeexprimée par cette équation.

Pour cet effet, il faut d’abord reconnoître les points où elle coupe son axe.On y parviendra en supposant yz=o; car où la courbe coupe son axe , l’or-donnée est nulle. On aura donc ax-f- xxzz O. Or pour cela il faut que x soitou zéro , ou a ; ce qui montre déjà que si l’on prend une indéfinie A E ( fig . qç )pour axe, et A pour l’origine des abscisses, comptées positivement de A vers E ,la courbe passe non-seulement par A , mais encore par le point B , qui en estéloigné en sens contraire de la quantité AB=«.

u’on fasse maintenant x si petit ou si grand qu’on voudra , mais toujours

positif, y UX-f-

xx est

positif, la valeur de y sera réelle ; car x étant

toujours

possible, parce que ax-l-xx est toujours positif Cette valeur donnera donc

l’ordonnée F D. Mais cette équation yy — J/ ax -f- xx donne également

-t- Y <ÎX-|-

xx ; ou si 1 on veut , y

car la racine deyyest indifféremment ou— y. 11 y a donc une ordonnée E p,prise négativement , c’est-à-dire au-dessous de l’axe , et égale à celle prise endessus. La courbe aura donc de ce côté deux branches ég les et semblables autourde l’axe AE,et qui s’étendent à l’infini, en s’éloignant l’une de l’autre. Car

quelque grandeur qu’on suppose à x positif, ~\/ ax-\-~xx a une valeur , et une

yaleur d’autant plus grande , que x est plus grand.

Mais qu’on fasse x négatif et moindre que a , la valeur d e 1/ ax-j-xx seraalors impossible ou imaginaire , parce que ax-f-xx sera alors négatif ; il n’y auradonc point d’ordonnée, et conséquemment de partie de courbe qui réponde àtoute l’étendue AB — a. Mais lorsque x pris négativement excédera tant soitpeu a, alors ax- f-xx cessera d’être négatif, et y<jx-f-xx sera réelle. Ainsi >il y aura des ordonnées, soit au-dessus, soit au-dessous de l’axe, dans toutel’étendue de B vers L , à l’infini. On démontrera facilement encore que cesdeux portions de courbes sont égales et semblables. Ainsi, en supposant qu’onignorât que cette équation est celle de l’hyperbole rapportée à son axe transverse,