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1®. Puisque chique portion infiniment petite Ee d'une combe est un arc de•ecceur dont b centre e't sur la développée, il s’ensuit que la courbure d’unecourbe à chacun de ses points est la même que celle du cercle décrit du rayonde la développée ; et comme un cercle est d’aut.mt moins courbe que son rayonest plus grand , il s’ensuit que la courbure d’une courbe à chaque point est enraison inverse du rayon de la développée.

3°. Entre ce cercle décrit du rayon de la développée et la courbe, on ne sauroitfaire passer un autre cercle: tout autre tombera, ou tout en dedans, ou tout endehors, hors le point de contact. Il en est enfin ici de même qu’à l’égard du contactd’un cercle entre lequel et la tangente on ne sauroit mener une ligne droite. Lecercle décrit du rayon de la développée est donc celui qui touche intimementla courbe. Il y a en effet dans ce cas au moins trois points d’intersection quicoïncident, tandis que dans un contact simple il n’y en a que deux.

4° Une courbe algébrique étant donnée, on peut trouver l’équation de cellequi la décrivait par son développement on pourroit employer pour cela uneméthode analogue à celle de De l c irtes pour les tangentes. Si l'on conçoit uncercle décrit d’un rayon indéterminé et coupant la courbe en plusieurs points, etqu’on cherche par l’analyse oïdinaire les abscisses qui répondent aux points d’in-tersection , on trouvera une éq M alion dans laquelle il y aura trois valeurs égaleslorsque ce cercle deviendra le cercle osculateur, ou son rayon celui dé la dé-veloppée. Il n’y aura donc qu’à comparer cette équation à une équation feinte ,ayant trois valeurs égales, comme ce 1 —3 e.v 2 -(- 3 e*x— e\r ; et cette comparaisondonnera le rapport du rayon de la développée avec l’abscisse de la courbe ; maisnous nous bornons à indiquer cette méthode , parce qu’elle est trop laborieuse.On peut toutefois en voir des exemples dans les auteurs qui ont commenté lagéométrie de Descartes, entr’autres le P. Rabuel. Mais sans recourir encore aucalcul différentiel , il y en a une autre assez simple et fondée sur les mêmesprincipes quë celle de Fermât pour les tangentes.

En effet, une courbe étant donnée, ( fig . 56 ),on connoit la position de chacune de• es normales EQ, FH qui répondent à des ordonnées éloignées d’une distance finie,comme e ; 011 peut par conséquent trouver par une analyse assez simple la distancedu point b, où doivent se couper ces deux perpendiculaires , ce qui donnera lavaleur de l’une des lignes E b ou F b. Mais supposons que la distance de ces ordon-nées e diminue , et enfin s’évanouisse, le point b se rapproch-.ra de la développée,et enfin tombera sur elle. Il faudra donc, comme dans la règle ci-dessus , supposercette distance s’évanouir, ou supprimer de l’expression de la ligne E b ou F b lestermes où e se trouve monter à des degrés au-dessus du premier- La valeur qu’auradans ce cas la ligne EB sera le rayon de la développée au point E. Mais lorsqu’onconnoitra la valeur analytique de E B, rien ne sera plus facile que de déterminercelles des lignes BR , A R , qui sont l’ordonnée et l’abscisse de la ligne cherchée.C’est ainsi qu’Huygens, appliquant le calcul à la développée de la parabole or-dinaire , trouvoit que cette développée étoit une des paraboles cubiques , savoircelle dont l’équation est a^x =: y 3 , x étant l’ordonnée, et y l’abscisse. On voltenfin par là qu’il y a une infinité de courbes absolument rectifiables. M. Descatte»désespéroit qu’il fût possible d’en trouver une seule : quel eut été son étonnement ,s’il eût été témoin de cette découverte ? Mais ce ne sont plus là aujourd’hui quedes jeux de la géométrie.

Fia des Notes du second Livre de la quatrième Partie.

Tome II.

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