DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Liv. VI. 3ff 7celle qu’on vient fie voir, si le génie inventeur suivoit toujoursle chemin le plus facile. C’est le développement de la puissance

i- xx m ( m étant un nombre quelconque) en expression ra-

tionnelle Il remarqua qu’il n’y avoit qu’à omettre dans la for-mule précédente les dénominateurs 5. 5. 7 . et abaisser chaque

puissance d’une unité , <Stc. Ainsi 1 z+zxx . n’est autre chose que

1 rh m x x

■ x'

m.m — 1. m — 2

^ r~

x é , &c. ; ce qui donne aussi

l’expression générale de a± bMais ( 1 =fc -Test 1 dr m.-

' a J a

, , "* „ , b \ m

; car azïzb =a”x(i±-j .

mm — 1 b 1 j m. m —- r. m — 2 b

—y

,m. m — r. m — 2 b ' c _

'T 7 7“ m 7î>

on a donc , en multipliant tout cela par a m , en a , dis-je ,

(û±/j)"=;û"± m. a m ' b -f y” ---. a m ~ 1 fr , &c. Ce peu determes suffit pour montrer la loi de la progression. Elle se ter-minera si m est un nombre entier et positif ; car alors il arri-vera que m moins un nombre de la progression naturelle de-viendra zéro, ce qui rendra ce terme nul, ainsi que chacundes suivons. Si m est négatif on un nombre rompu , cette Suiteaura un nombre infini de termes. C’est - là la laineuse règlenommée communément le Binôme de Neuton, règle d’un usageinlini dans l’analyse ordinaire , pour l’extraction approchée etexpéditive des racines, de meme que dans le calcul intégral.

M. Neuton étoit déjà parvenu à ces découvertes et à diversesautres , plusieurs années avant que Mercator publiât sa Loqa-rithmotechnie , qui ne comprend qu’un cas particulier de* lathéorie ci-dessus. Mais par un excès de modestie et d’indiffé-rence pour ces fruits de son génie , il ne se pres&oit point dese faire connoître en les mettant au jour. Sur ces entrefaitesparut l’ouvrage de Mercator : c’eut été pour tout autre unmotif puissant de se hâter de prendre part à la gloire attachéeà ces découvertes brillantes ; mais bien au contraire , cela neservit qu’à confirmer Neuton dans sa résolution. Il pensa queMercator ayant trouvé la Suite pour l’hyperbole , comme onl’a dit , il ne tarderait pas d’étendre sa méthode au cercle etaux autres courbes , ou que si Mercator ne le faisoit pas , cetteinvention n’échapperoit pas à d’autres. En effet , il est surpre-nant que Mercator, ayant résolu par la division ordinaire l’ex-pression Yzfrz en une Suite infinie, n’ait pas eu l’idée de tenter

l’extraction de la racine sur celle-ci y* ± x x. M. Neutonenfin ne se croyoit pas encore d’un âge assez mûr pour oserrien mettre au grand jour (i) , rare exemple de modestie, et

(1) Neutoni Epist. posterior in comm. Fpistol.