DES MATHÉMATIQUES. Part. IV. Lrv. VII. ^9cherche , que S en est le sommet, ou le point le plus lus ; SE ,l’axe ; EC , ec , deux ordonnées inliniment proches. 11 est cer-tain , et l’on peut facilement le démontrer par les lois de la Sta-tique , que si aux points S et C on conçoit deux puissancesretenant la portion de chaînette SC dans sa position, elleséprouveront chacune un effort dans la direction des tangentesSH, CH, et que chacune soutiendra la même partie du poidsabsolu de cette portion , que si ce poids étoit réuni en H ,concours de ces tangentes. D’un autre côté , la puissance placéeen S sera toujours la meme , quelle que soit la place du pointC, où l’autre est appliquée ; car quelle que soit la longueur dela portion SC , l’autre SA ne change ni de ligure, ni de po-sition , comme il est aisé de s’en convaincre par l’expérience $et par conséquent son point extrême S , ou la puissance quenous y supposons, éprouve constamment la même traction dansla direction S H. Mais la Statique nous apprend que quanddeux puissances soutiennent de cette sorte un poids H , ce poidsest à l’effort de l’une des deux , par exemple S , comme lesinus de l’angle des directions SEIC , ou DHC, au sinus del’angle EICD, formé par la direction de l’autre puissance avecla verticale, c’est-à-dire , comme CD à DH, ou cj à C f.Ainsi, nommant a la puissance constante en S : 2, la courbe SC,ou le poids H ; SE et EC , x et y , et leurs différences res-pectives dx , dy , on aura z\ a : : dæ : dy , ou zdyz=.adx ,pour l’équation différentielle de la courbe , équation qui, traitéeavec adresse , se réduira à celle-ci , dy — a dx : J/ (xx — ad).Ayant donc pris l’indéterminée SE = :r, et construisant l’inté-grale de adx :~y (xx — a a) , on aura l’ordonnée correspon-dante EC, ou y. Mais cette intégrale dépend de la dimensiond’une courbe dont les ordonnées sont données , ou bien de celled’un secteur hyperbolique : on peut aussi la représenter par lalongueur d’un arc parabolique, ou enfin par le logarithme d’unequantité variable qu’il est facile d’assigner ; car toutes ces chosesdépendent de la quadrature de l’hyperbole. Ce sont là les diffé-rentes manières dont s’y prirent pour construire cette courbe,MM. Huygens , Leibnitz et Bernoulli.

La chaînette est, comme l’on voit, une courbe mécaniqueou transcendante , puisque sa construction suppose la quadra-ture de l’hyperbole. Mais elle a d’ailleurs diverses propriétéstout-à-fait remarquables , qu’observèrent les illustres auteurs dessolutions dont on a parlé. Voici quelques-unes de ces propriétés.1. La chaînette est absolument rectifiable j l’arc S C est toujourségal à l’ordonnée correspondante EF de l’hyperbole équilatèredont le sommet est en S , et le centre sur l’axe prolongé à ladistance SV, égale à la quantité déterminée ^ a de l’analyse