5go NOTES, &c.

i une distance du centre égale à 1 dont u est l’ordonnée. Enfin, à la place de dt ,mettons sa valeur tirée de la seconde équation — , nous aurons dszz — , c’est-

* U U

à-dire, comme logarithme de u, ou l’aire hyperbolique interceptée entre la i re . or-donnée ou la vitesse initiale 1. Cela démontre ce que l’on a dit surles propriétés du mouvement retardé en raison des quarrés des vitesses ; savoir ,que dans ce cas la vitesse diminue comme l’ordonnée d’une hyperbole entre lesasymptotes, tandis que l’espace parcouru croît comme l’aire entre ces mêmesasymptotes; d’où l’on conclud encore que cet espace croissant arithmétiquement,la vitesse décroît géométriquement.

Ce que l’on a dit ensuite sur la rétardation du mouvement des corps projettésou tombant perpendiculairement dans un milieu résistant, se démontre aussi faci-lement à l’aide du même calcul. Pour cela , il faut d’abord faire attention quequand un mobile tombe à travers un milieu résistant, la force accélératrice estla différence entre la gravité et la résistance , et que quand il est projette per-pendiculairement, c’est la somme de ces forces qui produit le retardement.

Cela étant, que i représente la gtavité, u la vitesse acquise ou restante enun point quelconque ; que la résistance soit comme u u , on aura i — uu.dtzz.duyou dt = -^-. Or l’intégrale du dernier membre de cette expression est un

secteur hyperbolique dont la tangente est u , le demi-axe transverse étant i, etl'autre étant déterminé par l’intensité de la résistance ; ainsi le temps écoulé de-puis le commencement de la chute est représenté par un secteur hyperbolique »la vitesse acquise l’étant par la tangente de ce secteur ; et l’on voit ici tout desuite que la plus grande vitesse qui puisse être acquise dans cette chute, sera ex^primée par la tangente du secteur, quand il devient infini, tangente qui est cellecomprise entre le sommet de l’hyperbole et son asymptote. Ainsi il y a une vi-tesse terminale de laquelle le corps approche toujours, mais qu’il ne sauroitatteindre que dans un temps infini, c’est-à-dire, qu’il n’atteindra jamais.

Il est aisé d’appliquer cette analyse au cas de la projection verticale d’un corpsà travers le même milieu. On aura les mêmes formules à quelque changement designe près , changement qui désigne des secteurs circulaires, au lieu des secteurshyperboliques qu’on vient de trouver.

Si l’on veut de plus grands développemens de cette analyse, on peut recouriraux nombreux mémoires de M. Varignon , insérés parmi ceux de l’académie desScience: , depuis 1707 jusqu’en 1710 inclusivement. On y verra cette matièretraitée avec la plus grande généralité , et selon toutes les hypothèses , soit derésistance , soit de mouvemens primitivement uniformes ou variés. On pourroitmême dire que les détails où entre M. Varignon sur ce sujet, sont d’une pro-lixité qui lasse la patience.

Fin des Notes du septième Livre de la quatrième Partie .