DES MATHÉMATIQUES, Part. V. Liv. I. 41qui se démontre an surplus par la simple et pure Analyse , commel’a fait le C. Lagrange, dans les mém. de l’acad. de Berlin del’année 1765.
V.
Après les nombreux et indispensables détails où nous venonsd’entrer sur la nature et la composition des équations algébriques,nous allons faire connoître les travaux multipliés des principauxgéomètres de ce siècle pour atteindre à leur résolution complète.On ne verra pas sans surprise les difficultés imprévues qu’ilsont rencontrées sur leur chemin ; elles justifieront ce que nousavons dit sur ce sujet au commencement de l’article précédent.
Il est un moyen qui semble, au premier abord, promettreun succès certain et qui cependant éprouve un obstacle inat-tendu et insurmontable, au moins dans l’état où est aujourd'huil’Analyse. Ce moyen est de diviser l’équation donnée dans cellesdont elle est le produit. Une équation du cinquième degré peuten effet , être conçue comme le produit d’une du premier etd’une du quatrième , ou d’une du second et d’une du troisième,et ainsi des équations supérieures. On ne peut même douter quecela ne soit, et ce n’est que la complication des coefficiens deces équations qui s’oppose à cette division.
Une équation d’un degré quelconque étant donnée, parexemple une du sixième, il étoit donc naturel de prendre deuxéquations à coefficiens indéterminés , une du second et unedu quatrième par exemple $ ces deux équations multipliées l’unepar l’autre dévoient donner, comme cela arrive en effet, uneéquation à coefficiens indéterminés. Ces coefficiens , il n’y avoitqu’à les comparer à ceux de l’équation proposée, et comme ily a autant d’équations que de ces coefliciens, il devoit enfinen résulter une équation finale en quantités connues ; savoir,les coefficiens donnés de l’équation proposée, et une seule in-connue , savoir, l’un des coefficiens cherchés. Or, ce premierétant trouvé les autres ne doivent faire aucune difficulté. C’estainsi que procède le P. Leseur , l’un des savans auteurs du com-mentaire sur Neuton, dans un mémoire sur le Calcul intégral ,publié à Rome en 1748.
C’étoit là ce semble un moyen sûr d’enchaîner ce Protée. Maisqui pouvoit prévoir le résultat auquel il devoit conduire? Onparvient en effet fort bien, quoique laborieusement, à uneéquation finale, mais pour une équation du sixième degré àrésoudre ainsi en deux l’une du quatrième, l’autre du second,on arrive à une e'quation du dix septième degré qui, néanmoins,se laisse réduire au quinzième. Et comme une équation de di-Tome III. F