DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 5 7impossible. Le Cit. Lagrange pense au reste que si cette réso-lution n’est pas dans ce cas, elle dépend de quelque fonction desracines ou manière de les exprimer différente de toutes cellesemployées ou tentées jusqu’à présent. J’ajouterai pour finir quesi quelqu’un parvient jamais à la résolution absolue de cet inté-ressant problème , il est à croire que ce seront les réflexions etles vues du Cit. Lagrange qui y contribueront le plus.

V I.

Tous les efforts des Géomètres pour la résolution générale deséquations ayant eu aussi peu de succès , il a fallu , comme dansd'autres cas désespérés , se retourner du côté des approximations.C’est-là l’unique ressource qui reste lorsque toutes les méthodesde réductions n’ont point réussi. On est même , à bien dire ,contraint d’y recourir dès qu’on est assuré que les racines del’équation sont irrationelles ; ce qui est le cas le plus fréquent.Car, sans aller chercher un exemple plus composé que celui dutroisème degré , n’a-t-on pas une idée plus nette d’un nombreexprimé en fraction décimale , que d’une expression aussi enve-loppée de radicaux que le sont les formules de Cardan , lorsmême que l’extraction de la racine est possible. La résolutiongénérale des équations est sans doute à désirer , si on l’envisagedans la rigueur géométrique ; mais il est fort probable qu’ellen’affranchiroit pas de la nécessité des approximations.

La méthode d’approximation la plus générale est celle qu’ontdonnée Neuton , Halleyel Raphson. Nous les joignons ensem-ble , parce qu’ils y sont venus tous les trois ou par des voiesdifférentes, ou à l’insçu les uns des autres. Mais Neuton estcelui à qui est due sa première invention ; car il la communiquaau docteur Barrov dès l’année 1669 , dans son écrit intitulé :Analysis per aequationes numéro terminorum injinitas. Voicien peu de mots le principe et l’esprit de cette méthode.

On suppose qu’on ait déjà la racine entière la plus approchée ,c’est-à-dire, qui ne diffère de la véritable que de moins d’uneunité. C’est-là la base de l’opération. On égale donc ce nombreplus une nouvelle inconnue, à celle de l’équation proposée eton la substitue à sa place. On a une autre équation dont la racineest ce qu’il faudroit ajouter à la première pour avoir sa valeurexacte. Mais comme on suppose que ce reste est fort petit, ouune quantité moindre que l’unité, on en conclud que la valeur destermes les plus élevés est fort petite. Car la valeur d’une fractiondevient d’autant plus petite qu’on l’élève à une plus haute puis-sance. Ainsi tous les termes de cette nouvelle équation où entreTome III. H