68 HISTOIRE

une tangente commune. De là naît la division de ces sortes depoints en deux espèces ; l’une est celle où les deux branches setouchent par leur convexité, ( fi g. 19, n Q . /), et ont par conséquentla tangente commune entr’elles. La seconde est celle où cettetangente est du même côté à l’égard de l’une et de l’autre. Alorsla convexité de l’une touche la concavité de l’autre ( fig. 19,n°. x ). Un habile géomètre , M. l’abbé De-Gua ( 1 ) , a cru etentrepris de faire voir que cette sorte de point de rebroussementest impossible ; mais il est aujourd’hui reconnu qu’il s’est trompé,et M. Euler (2) l'a absolument démontré, en déterminant leséquations de tant de courbes qu’on voudra, qui ont ce genre derebroussement. Une chose au reste à remarquer ici , c’est quece rebroussement ne se fait et ne peut se faire que par le contactdes deux branches de la courbe , ou leur contact commun avecune ligne droite , mais non en faisant un angle entr’elles.

Toutes ces variétés enfin peuvent être combinées ensemble,et le sont quelquefois réellement dans des courbes d’ordres supé-rieurs. Dans une courbe du quatrième degré , par exemple , ilpeut y avoir un point d’inflexion combiné avec un nœud ; maisdans une courbe du troisième ordre cela ne sauroit avoir lieu ,puisque la droite tangente à l’inflexion couperoit dès-lors lacourbe en quatre points.

11 y a enfin des courbes d’ordres supérieurs qui ont un centre ,d’autres qui n’en ont point. Nous appelions centre un pointplacé , même quelquefois sur la périphérie de la courbe , qui esttel qu’en menant par ce point une ligne droite rencontrantla courbe en deux points, elle est coupée en deux également parle centre. Ainsi l’on peut dire que le centre est le point à l’égardduquel la courbe conserve une symétrie parfaite. Tel est le pointC , [sommet de la courbe à quatre branches (Jïg. 20 , n°. 1 ),dont l’équation est x*—aayy xxy y ; et qui nous donnel’exemple d’une courbe qui, au lieu d’être comprise dans l’anglede ses asymptotes , les embrasse au contraire en dehors. Tel estencore le point C dans la courbe A CB ( fig. 20, n°. 2) ,rampante au dessus et au-dessous de son asymptote unique DE,qu’elle coupe en ce même point C. C’est celle que Neutonappelle Anguinea, à cause de sa forme.

Le calcul différentiel fournit sans doute des moyens de par-venir à la découverte des différens points singuliers qu’on vientd’indiquer. D'habiles géomètres en ont donné des essais , maisleurs règles sont sujettes à un grand nombre de limitations qu’ilsn’ont même pas toujours apperçues. L’analyse de Descartesapprofondie comme elle l’a été depuis le commencement de ce

(ï) Usage de Analyse de Des- (i) Mém. de l’Acad, de Berlin , an.tartes , Sic. Paris, 1740, in- 12. 1749.