1 56 HISTOIRE

11 étoit cependant plus que probable que , quelle que fût lavaleur de l , ce trinôme étoit réductible en facteurs de deuxdimensions. Je dis plus que probable , parce que la théorie de lanature des équations nous apprend que les racines imaginairesmarchent toujours par paires , et que les deux racines de chaquepaire formant un produit réel de deux dimensions , un pareilproduit devoit être un facteur du trinôme. Cela donna lieu àM. de Moivre de trouver un théorème analogue à celui deCôtes , et plus général, sur quoi il fait cet aveu , que peut-êtreil n’y auroit jamais songé sans celui de M. Côtes ; le voici.

Si dans un cercle (jig. 4 5 ), dont le rayon est l’unité, ou a ,l’on prend l’arc AK quelconque dont le cosinus soit l, qu’aprèscela on fasse l’arc AB à l’arc AK dans le rapport de l’unité àm ( qui est toujours un nombre entier ) , qu’on divise ensuitetoute la circonférence du cercle à partir du point B en unnombre m de parties égales , qu’enfin les cosinus B b , Ce ,&c. de ces arcs A B. A C. A D., &c. soient a , b , c , ( avecles signes convenables , savoir positifs , s’ils sont du côté de A. ,à l’égard du diamètre MN, et négatifs s’ils tombent du côtéopposé ) ; alors si on prend OP = .r, on aura les trinômesx x zha a x -+- î ; xx-^zibx-\- î •, xx±icx ->r -1 , &c égauxrespectivement à PB 2 , PC 2 , PD 2 , &c. , et facteurs du trinôme£C* m Z±T 1 lx m -+- 1.

Le théorème de Côtes se déduit de celui-là ; car si nous sup-posons /= i , alors le point K tombera sur A , ainsi que le pointB, et le trinôme en question deviendra x im ± 2 .x m -j- î, qui aurapour facteurs PA 2 = PB 1 ; PC 2 , PD 2 , &c. Et prenant de chaquecôté la racine quarrée , on aura x m ± î =PA ou PB x PC X PD, Sic.Cr , le commencement de la division tombant en A ou B ,chaque facteur comme PC , PD , PE , &c. du demi cercle supé-rieur aura son égal dans l’inférieur ; le seul PA ou PB sera unfacteur simple ; ainsi on aura x m rt i=PHxPC 2 xPD 2 jusqu’aunombre de dimension exprimé par m.

Il faudroit nous plonger dans des détails analytiques peucompatibles avec la nature de cet ouvrage , pour donner ici unedémonstration de ce beau théorème. Nous remarquerons seule-ment que M. de Moivre la déduit d’une belle propriété des sectionsconiques dont il est aussi l’inventeur , et dont il tire par unemême équation le rapport des ordonnées qui conviennent à dessecteurs multiples l’un de l’autre dans l’hyperbole , et celui descosinus de deux secteurs ou arcs semblablement multiples dansle cercle ; ce qui établit une curieuse et singulière relation entrele cercle et l’hyperbole , ou entre les arcs de cercle et les loga-rithmes. Quant à la propriété du cercle dont il s’agit ici, diversgéomètres se sont attachés à en donner des démonstrations de