168 HISTOIRE

fient à-la-fois

dy dx

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samment que si l’on avoit une différentiellle à quatre variables,cas à la vérité extrêmement rare et presqute de pure spéculation,il faudroit satisfaire à six équations semlblables , savoir autantqu’on peut combiner de fois entr’elles (quatre choses deux àdeux, et ainsi de cas plus compliqués ; c’est-là ce qu’on appelle,dans ce calcul, équations de conditions-

Un exemple de ce moyen de reconnoîtxe si une différentielleà plusieurs variables est intégrable, ne sawroit être déplacé ici ;mais nous nous bornerons à une de deux variables. Soit donc

_ x dy 3» <*y&X

cette différentielle dx Ty-t- — ady y x — qui est assez

compliquée pour qu’il ne soit rien moins» que facile de juger sielle a une intégrale , ou non. Je commence par prendre tousles termes qui multiplient dx , et leur somme , qui est ici

vj — me donne la valeur de A. Je prends de même lasomme de tous les termes qui multiplient dy , et qui est

3 _

—^7=.— aVx ; c’est la valeur de B. Je différence A , en neI* V y

faisant varier que y , et je supprime les dy ; ce qui donne-d— — -L-. Je différentie de même B , en n’y faisant varier que

x, et divisant par dx , et j’ai —7=- — L . Or ces deux expres-

„ , , , *vy J*! JA dB

sions sont absolument les memes ; ainsi nous avons — = — y

et consépuemment notre équation est intégrable.

L’intégration devient après cela facile ; car il n’y a qu’à prendrel’intégrale du membre où se trouve dx, ou A dx , en n’y re-gardant comme variable que x , il est ici dx~Vy —, dont

l’intégrale , en supposant y constante , est x~Vy — ayx i.On intègre ensuite Bdy , en 11e supposant que y variable ; sices deux intégrales sont les mêmes , il n’y aura rien à ajouterà l’intégrale d’abord trouvée. C’est ce qui arrive ici ; car l’in-tégrale de B dy y en supposant y seule variable, est x~V y — ayxf.Ainsi , telle est l’intégrale complette , sauf l’addition de la cons-tante de la différentielle proposée.

Mais si l’une des deux intégrales , par exemple la dernière ,contenoit quelque terme de plus que la première , il n’y auroitqu’à l’ajouter à l’intégrale déjà trouvée , elle sera complettepar-là. Cela seroit arrivé dans l’exemple présent , si la différen-tielle proposée avoit contenu quelque terme où dy n’eût été

affecté